Задание № 2
Работа предназначена для выработки умения 1) работы с двумерными случайными величинами: получения законов распределения и числовых характеристик компонент случайного вектора, определения зависимости между ними; 2) находить законы распределения функций случайных величин по известным распределениям аргумента.
Вся необходимая для решения задач информация представлена в лекциях по теории вероятностей [1].
ЗАДАЧА 1
Закон распределения случайного вектора Z = (X, Y) задан таблицей. Найти:
1) законы распределения случайных величин X и Y;
2) математическое ожидание MZ;
3) дисперсии DX и DY;
4)
ковариацию
и коэффициент корреляции
.
Зависимы ли случайные величины X
и Y?
5) закон распределения случайной величины X при условии, что Y принимает любое из всех возможных для нее значений;
6)
условное математическое ожидание
и
условную дисперсию
.
Варианты |
Варианты |
||||||||
1 |
X |
Y |
14 |
X |
Y |
||||
–1 |
0 |
–1 |
–2 |
–1 |
0 |
||||
1 |
0.2 |
0.1 |
0.3 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
||
2 |
0 |
0.1 |
0.2 |
1 |
0.1 |
0 |
0.1 |
||
3 |
0 |
0.1 |
0. |
2 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
||
2 |
|
0 |
1 |
2 |
15 |
|
–2 |
–1 |
3 |
–2 |
0.2 |
0.1 |
0.2 |
–2 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
||
–1 |
0.1 |
0.1 |
0 |
0 |
0.2 |
0 |
0.1 |
||
0 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
2 |
0.2 |
0.1 |
0 |
||
3 |
|
1 |
2 |
4 |
16 |
|
–2 |
0 |
1 |
–2 |
0 |
0.2 |
0 |
1 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
||
–1 |
0.2 |
0.1 |
0 |
2 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
||
0 |
0.2 |
0.2 |
0.1 |
4 |
0 |
0.1 |
0.1 |
||
4 |
|
–1 |
0 |
2 |
17 |
|
2 |
3 |
4 |
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
–2 |
0.1 |
0 |
0 |
||
4 |
0.1 |
0.2 |
0 |
–1 |
0.2 |
0.3 |
0.1 |
||
6 |
0.1 |
0.3 |
0 |
0 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
5 |
|
3 |
2 |
1 |
18 |
|
1 |
2 |
3 |
–3 |
0 |
0.1 |
0.2 |
–1 |
0.1 |
0 |
0.1 |
||
–2 |
0.1 |
0 |
0.1 |
0 |
0.2 |
0.1 |
0.2 |
||
–1 |
0.2 |
0.1 |
0.2 |
1 |
0.2 |
0.1 |
0 |
||
6 |
|
–1 |
0 |
1 |
19 |
|
–3 |
0 |
1 |
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
–1 |
0 |
0.2 |
0.1 |
||
3 |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
1 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
||
4 |
0 |
0 |
0.1 |
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
Окончание таблицы
Варианты |
Варианты |
||||||||
7 |
|
–3 |
–2 |
0 |
20 |
|
0 |
2 |
3 |
1 |
0.1 |
0.2 |
0.2 |
–2 |
0.1 |
0.1 |
0 |
||
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
1 |
0.2 |
0.2 |
0.1 |
||
3 |
0.1 |
0 |
0.1 |
0 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
8 |
|
–3 |
0 |
2 |
21 |
|
–3 |
2 |
4 |
1 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
-1 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
2 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0 |
||
3 |
0 |
0.1 |
0.1 |
1 |
0 |
0.2 |
0.2 |
||
9 |
|
0 |
3 |
4 |
22 |
|
–3 |
0 |
2 |
–2 |
0 |
0.2 |
0.1 |
1 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
||
–1 |
0.2 |
0.2 |
0.1 |
2 |
0.1 |
0.3 |
0 |
||
0 |
0.1 |
0 |
0.1 |
3 |
0 |
0.1 |
0.1 |
||
10 |
|
–3 |
2 |
4 |
23 |
|
0 |
3 |
4 |
–1 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
–2 |
0.2 |
0.1 |
0 |
||
0 |
0.1 |
0 |
0.2 |
–1 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
||
1 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
11 |
|
–1 |
0 |
2 |
24 |
|
0 |
2 |
4 |
0 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
1 |
0.2 |
0.1 |
0 |
||
1 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
2 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
||
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
3 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
12 |
|
0 |
1 |
2 |
25 |
|
1 |
2 |
3 |
–1 |
0.1 |
0.2 |
0.2 |
–2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
–1 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
||
4 |
0.1 |
0 |
0.1 |
0 |
0.2 |
0.1 |
0 |
||
13 |
|
–3 |
–1 |
1 |
26 |
|
0 |
1 |
2 |
0 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
||
1 |
0.2 |
0.1 |
0 |
3 |
0.2 |
0 |
0.1 |
||
2 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
4 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
||
ЗАДАЧА 2
Плотность
вероятности случайного вектора Z
= (X,
Y)
и область определения D
случайной величины Z
заданы в вариантах. Формула плотности
вероятности
содержит неизвестную переменную A.
Найти:
1) значение переменной A;
2) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в заданную область G;
3) законы распределения случайных величин X и Y, а также их функции распределения. Дать графическое изображение полученных функций;
4) математические ожидания MX и MY, а также дисперсии DX и DY;
5) ковариацию сov (XY) и коэффициент корреляции ;
6)
условные законы распределений
;
7)
условные математические ожидания
и дисперсии
.
Нарисовать на одном чертеже линии
регрессии;
8)
вычислить корреляционные отношения
.
Варианты |
U |
|
G |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
Окончание таблицы
Варианты |
U |
|
G |
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
|
|
|
20 |
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
24 |
|
|
|
25 |
|
|
|
ЗАДАЧА 3
Найти
закон распределения случайной величины
,
если известна плотность распределения
случайной величины X
–
.
Вычислить MY,
DY.
В
вариантах 1–15 случайная величина X
,
в вариантах 16–25
– имеет
плотность вероятности
.
Вариант |
A |
b |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
4 |
0 |
|
|
5 |
|
|
| |
6 |
0 |
|
| | |
7 |
0 |
e |
lnx |
8 |
1 |
3 |
|
9 |
0 |
e |
|lnx | |
1 |
–2 |
2 |
|
11 |
–1 |
1 |
|
12 |
–3 |
3 |
|
13 |
0 |
1 |
аrсtgx |
14 |
2 |
4 |
|
15 |
–1 |
1 |
|
16 |
0 |
|
|
|
Окончание таблицы
Вариант |
A |
b |
|
17 |
0 |
|
|
18 |
0 |
|
|
19 |
0 |
|
|
20 |
0 |
2 |
|
21 |
0 |
|
|
22 |
1 |
|
|
23 |
|
|
|
24 |
1 |
2 |
|
25 |
1 |
3 |
|
ЗАДАЧА 4
X
и Y
– независимые случайные величины с
заданными законами распределения,
(знак «+» или «–» указаны в вариантах
заданий). Для векторной случайной
величины
или
найти
1)
средние и дисперсии случайных величин
;
2)
уравнения регрессии
;
3)
скедастические уравнения
;
4)
коэффициент корреляции
и корреляционные отношения
.
Линии регрессии изобразить на одном
графике.
Варианты |
X |
Y |
Z |
V |
1 |
Rav [0,1] |
Rav [0,1] |
X–Y |
(X, Z) |
2 |
Rav [0,1] |
Exp (1) |
X+Y |
(X, Z) |
3 |
Rav [0,1] |
Exp (1) |
X–Y |
(X, Z) |
4 |
Rav [0,1] |
Exp (1) |
–X+Y |
(X, Z) |
5 |
Rav [0,1] |
|
X+Y |
(X, Z) |
6 |
Rav [0,1] |
|
X–Y |
(X, Z) |
7 |
Rav [0,1] |
|
–X+Y |
(X, Z) |
8 |
Exp (1) |
Exp (1) |
X+Y |
(X, Z) |
9 |
Exp (1) |
Exp (1) |
X–Y |
(X, Z) |
10 |
Exp (1) |
|
X+Y |
(X, Z) |
11 |
Exp (1) |
|
X–Y |
(X, Z) |
12 |
Exp (1) |
|
–X+Y |
(X, Z) |
13 |
|
|
X+Y |
(X, Z) |
14 |
|
|
X–Y |
(X, Z) |
15 |
Rav [0,1] |
Exp (1) |
X+Y |
(Y, Z) |
16 |
Rav [0,1] |
Exp (1) |
X-Y |
(Y, Z) |
17 |
Rav [0,1] |
Exp (1) |
–X+Y |
(Y, Z) |
18 |
Rav [0,1] |
|
X+Y |
(Y, Z) |
19 |
Rav [0,1] |
|
X–Y |
(Y, Z) |
20 |
Rav [0,1] |
|
–X+Y |
(Y, Z) |
21 |
Exp (1) |
Exp (1) |
X–Y |
(Y, Z) |
22 |
Exp (1) |
|
X+Y |
(Y, Z) |
23 |
Exp (1) |
|
X–Y |
(Y, Z) |
24 |
Exp (1) |
|
–X+Y |
(Y, Z) |
25 |
|
|
X+Y |
(Y, Z) |
