Решение типового варианта

Задача 1. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Наудачу берут две карточки. Какова вероятность того, что наибольшее из чисел на извлеченных карточках равно 4 – событие A?

Решение. Пространство элементарных исходов эксперимента конечно и содержит элементов. Все исходы равновероятны. Событию A среди них благоприятствуют 3 исхода – среди чисел на карточках, меньших четырех, только 3. Следовательно, по формуле классической вероятности имеем .

Задача 2. В прямоугольнике ABCD со сторонами 2 и случайным образом выбрана точка. Какова вероятность того, что обе длинные стороны прямоугольника видны из этой точки под острым углом – событие ?

Решение. Совместим вершину A прямоугольника с началом координат и обозначим координаты выбранной точки M через х и y. Из треугольника AMD по теореме косинусов имеем

,

. (*)

Аналогично, из треугольника BMC, полагая расстояние от точки M до стороны BC равным , а расстояние точки M до стороны CD равным (2 – х), имеем

. (**)

Полученные результаты используем следующим образом. В качестве пространства элементарных исходов Ω выбираем прямоугольник со стороной 2 по оси Оx и со стороной по оси Оy. Соотно- шения (*) и (**) определяют в прямоугольнике Ω множество точек , благоприятствующих событию : .

Границы этого множества пересекаются в точках . Мера множества , мера множества Ω равна . Тогда, согласно геометрической вероятности, .

Задача 3. Прибор состоит из трех независимо работающих элементов, которые за время Τ отказывают с вероятностями 0.1, 0.2 и 0.3 соответственно. Найти вероятность отказа двух элементов за время Τ – событие A.

Решение. Пусть , – событие . Тогда . Очевидно, что события-слагаемые несовместны: . Получим в силу несовместности этих событий и независимости событий-сомножителей в них

Задача 4. По цели производится 3 выстрела с вероятностью попадания 0.2 при каждом. Вероятность поражения цели при одном попадании равна 0.3, при двух попаданиях – 0.6, при трех – 0.9. Найти вероятность уничтожения цели. Какова вероятность, что при этом было одно попадание?

Решение. Событие A – цель уничтожена. Какие предпо- ложения могут быть выдвинуты? Событие A может произойти в результате одного, двух или трех попаданий при условии, что промаха не было. Следовательно, имеем три гипотезы Вероятности гипотез вычисляем следующим образом: = . Аналогичными вычислениями находим вероятности 2-й и 3-й гипотез: . Вероятности событий , k = 1, 2, 3, даны в условии задачи. По формуле полной вероятности вычисляем вероятность события A:

.

По формуле Байеса находим апостериорную вероятность гипотезы

.

Задача 5.

Решение. 1. Пусть p=0.25, n=4. Закон распределения случай- ной величины X задается формулой . Функцию распределения можно записать в виде (в работах следует привести графики функций).

.

Проверка: .

.

Проверка: .

или

.

2. Пусть n = 400, p = 0.008. Вероятность, что в серии n независимых испытаний успех имел место k раз, вычисляется в этом случае по формуле Пуассона: . В нашем случае .

По формуле Бернулли . Погрешность вычисления вероятности по формуле Пуассона не превосходит величины , т. е.

.

3. Пусть n = 100, p = 0.9, a = 85, b = 90. В этом случае величина np = 90 достаточно большая, применение формулы Муавра–Лапласа оправданно.

.

Задача 6. У стрелка, вероятность попадания которого в мишень равна 0.65, имеется 5 патронов. Стрельба по мишени прекращается при первом же попадании в мишень. X – число оставшихся патронов.

Решение. Случайная величина X – дискретная, представим ее рядом распределения в виде таблицы с двумя входами

X	0	1	2	3	4
P	0.014	0.028	0.080	0.228	0.650

Вероятности событий вычислены по формуле: .

Вероятность события .

.

.

Задача 7. Пусть .

Решение. 1. Константу A находим из основного свойства плотности вероятности .

2. (в РГР должны быть нарисованы графики этих функций).

3.

= .

.

4.

.

Задача 8.

Решение (приведено для произвольных значений a и σ).

1. Плотность вероятности . Строим график полученной плотности вероятности.

2. Вычислим значения функции распределения в указанных точках при заданных параметрах (в таблице будет указана последовательность построения значений функции распределения в указанных точках):

X	a–3σ	a–2σ	a–σ	а	a+σ	а+2σ	a+3σ
F(х)	F(a–3σ)	F(a–2σ)	F(a–σ)	F(a)	F(a+σ)	F(a+2σ)	F(a+3σ)
Φ(х)	Φ(–3)	Φ(–2)	Φ(–1)	Φ(0)	Φ(1)	Φ(2)	Φ(3)

По полученным точкам строим график функции распределения.

3. Вычислим вероятность того, что деталь попадет в интервал (α, β):

p = .

Вероятность того, что 3 детали попадут в интервал (α, β), равна в силу независимости событий {i-я деталь попала в интервал}, i = 1, 2, 3.

4. Пусть n – число деталей, которое необходимо изготовить. Требуется вычислить : . В формуле р – вероятность того, что изготовленная деталь годная, т. е. ее отклонение от номинала попадает в интервал , q = 1 – p. . По условию вероятность равна 0.95. Таким образом, . Число с можно найти в таблице для интеграла вероятности. Для получения ответа на вопрос задания следует решить квадратное уравнение относительно n.