Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

51 № 3191

Т 338

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов Ш курса ФПМИ

НОВОСИБИРСК

2006

УДК 519.2(07)

Т 338

Составитель канд. техн. наук, доц., Н.Д. Бекарева

Рецензент канд. техн. наук, доц., С.Н. Постовалов

© Новосибирский государственный

т ехнический университет, 2006

Задание № 1

Расчетно-графическое задание состоит из 5 задач на вычисление вероятностей событий различными способами, с использованием основных свойств вероятности, формул полной вероятности, Байеса, Пуассона, Муавра – Лапласа. В задачах 6–8 отрабатываются понятия закона распределения случайных величин, функции распределения, вычисление числовых характеристик распределений и вероятностей событий, заданных с помощью случайных величин.

Вся необходимая для решения задач информация представлена в лекциях по теории вероятностей [1].

ЗАДАЧА 1

1. В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 4 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Какова вероятность, что 3 человека выйдут на одном этаже?

2. Найти вероятность того, что 7 случайно выбранных человек родились в разные дни недели.

3. Выполняя заказ на изготовление 50 золотых медалей, ювелир заменил 2 медали фальшивыми. Для контроля заказчик случайным образом выбирает 3 медали. Какова вероятность разоблачения ювелира?

4. Наудачу выбирается семизначное число. Найти вероятность того, что число читается одинаково как слева направо, так и справа налево (например, 5732375).

5. Пять студентов сдают экзамен. Каждому студенту преподаватель случайным образом предлагает 1 из шести вопросов. Какова вероятность всем студентам получить разные вопросы?

6. В мешке Деда Мороза находятся именные подарки для 6 детей. Дед Мороз вынимает подарки и случайным образом раздает их. Какова вероятность, что в точности 3 ребенка получат свой подарок?

7. На 6 вакантных мест в составе стройотряда имеются 20 претендентов: 4 первокурсника, 6 второкурсников, 10 третьекурсников. Найти вероятность, что при случайном отборе в стройотряде не окажется второкурсников.

8. Из 20 книг на полке 2 имеют дефект переплета. Покупатель наудачу выбирает 5 книг. Найти вероятность, что в их составе окажется 1 с дефектом переплета.

9. Семи студентам выдается один из 10 вариантов самостоятельной работы. Какова вероятность, что все студенты получат разные задания?

10. Семь шаров раскладывают случайным образом по 7 ящикам. Какова вероятность, что в каждом ящике окажется по одному шару?

11. В группе 8 девушек и 16 юношей. Случайным образом для анкетирования отбираются 5 человек из группы. Какова вероятность, что среди отобранных окажутся 3 девушки и 2 юноши?

12. Рассеянная тетушка написала письма 5 своим племянникам, разложила по конвертам, запечатала их и только тогда обнаружила, что забыла написать адреса получателей. Однако письма отправила, надписав адреса наугад. Какова вероятность, что ровно 3 племянника получат адресованные им письма?

13. Пять шаров случайным образом размещают по 6 ящикам. Какова вероятность, что все шары попадут в разные ящики?

14. Десять человек хотят занять свободные места в вагоне электрички, но свободных мест оказалось всего 8. Какова вероятность, что 2 определенных пассажира останутся без мест?

15. В джаз-оркестр НГТУ претендуют попасть 3 студента ФГО, 4 студента АВТФ и 7 студентов ФПМИ. Вакантных мест всего 5. Какова вероятность, что в оркестре не окажется студентов АВТФ, если набор осуществляется случайным образом?

16. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 6 человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Какова вероятность, что пассажиры выйдут на разных этажах группами по 2 человека?

17. В лотерее разыгрывается 6 призов. Найти вероятность того, что среди 4 наугад купленных билетов 2 окажутся «счастливыми», если выпущено всего 50 билетов.

18. Шести студентам, сидящим за круглым столом, предлагаются 8 вариантов контрольной работы. Найти вероятность, что работы с номерами 1 и 2 достанутся рядом сидящим.

19. На столе экзаменатора 25 занумерованных экзаменационных билетов. Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что наименьший номер у выбранных билетов равен 15.

20. Тридцати отдыхающим предлагаются 3 экскурсии. Каждый из отдыхающих выбирает экскурсию независимо от других. Какова вероятность, что в каждой группе окажется одинаковое число экскурсантов?

21. Из 12 книг 4 имеют твердый переплет. Наудачу выбираются 5 книг. Какова вероятность, что среди них окажутся 3 книги в мягком переплете?

22. Тренер по фигурному катанию принял в группу 6 мальчиков и 6 девочек, среди них брата и сестру. Смешанные пары формируются случайным образом. Какова вероятность, что брат с сестрой окажутся в одной паре?

23. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже вошли 4 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Какова вероятность, что пассажиры выйдут на разных этажах группами 2, 1 и 1?

24. Пять групп занимаются в пяти расположенных подряд аудиториях. Какова вероятность, что группы с номерами 1 и 2 окажутся в соседних аудиториях?

25. Пять студентов, двое из которых выпускники одной школы, распределяются случайным образом по трем группам. Какова вероятность, что выпускники одной школы не окажутся в одной группе?

ЗАДАЧА 2

1. На катетах AB и AC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC случайно выбираются точки M и N и из них опускаются перпендикуляры MK и NL на гипотенузу BC. Какова вероятность того, что площадь пятиугольника KLNAM больше половины площади треугольника ABC?

2. На отрезках [0,2] и [0,3] случайно выбрали числа p и q соответственно. Какова вероятность того, что уравнение не имеет действительных корней?

3. На одной стороне ленты длиной 15 м закрасили участок длиной 5 м, а на другой ее стороне закрасили участок длиной 4 м. Начала этих участков расположены на ленте случайно. Участок с 9 м по 10 м на ленте вырезали. Какова вероятность того, что не задели оба покрашенных участка?

4. ABCD – прямоугольник со сторонами AB = 1 и AD = 2. На AB и AD случайно взяты точки M и N соответственно. Через точки M и N проведены прямые, параллельные диагонали AC, которые отсекают от ABCD два треугольника. Какова вероятность того, что сумма площадей этих треугольников больше половины площади всего прямоугольника?

5. Числа p и q случайно выбраны на отрезках [2,6] и [0,4] соответственно. Найти вероятность того, что корни уравнения действительные.

6. Передатчик случайно включался в течение часа на 10 минут. Найти вероятность того, что приемник, случайно прослушивавший эфир в течение 20 минут каждого часа, заметил его работу.

7. На отрезке [1,3] случайно выбраны два числа. Найти вероятность того, что их сумма превосходит их произведение.

8. На сторонах AB и AD квадрата ABCD выбраны точки M и N соответственно. Какова вероятность того, что площадь треугольника AMN больше суммы площадей треугольников MBC и CDN?

9. На противоположных сторонах квадрата длиной 1 случайным образом выбраны точки, и квадрат разрезан по соединяющему эти точки отрезку. Какова вероятность того, что площади получившихся трапеций отличаются не более чем в два раза?

10. Числа p и q выбираются случайным образом на отрезках [0,6] и [0, p] соответственно. Найти вероятность того, что уравнение не имеет действительных корней.

11. На соседних сторонах прямоугольника с длинами сторон 10 м и 20 м случайным образом выбраны точки. Найти вероятность того, что расстояние между ними не меньше 4 м.

12. На сторонах AB и AC равностороннего треугольника случайным образом выбраны точки M и N. Найти вероятность того, что треугольник AMN тупоугольный.

13. Числа p и q выбираются случайным образом на отрезках [0,2] и [p,2] соответственно. Какова вероятность того, что их произведение не превосходит 1?

14. На сторонах AB и AC равностороннего треугольника случайным образом выбраны точки M и N. Какова вероятность того, что площадь треугольника AMN больше площади треугольника NBC?

15. Молодой человек договорился о встрече с девушкой между 11 и 12 часами. Девушка обещала ждать молодого человека 10 минут, а молодой человек сказал, что раньше 12 часов не уйдет. Какова вероятность того, что они встретятся?

16. На сторонах AB и AC квадрата ABCD случайным образом выбраны точки M и N. Какова вероятность того, что треугольник AMN не имеет угла меньше 30 градусов?

17. Длины сторон прямоугольника 2 и 5. На каждой из длинных сторон случайно выбрано по точке. Какова вероятность того, что тангенс угла между отрезком, соединяющим эти точки, и длинной стороной прямоугольника больше 1 и меньше 2?

18. Числа p и q выбираются случайным образом на отрезках [–4,4] и [–2,2] соответственно. Какова вероятность того, что уравнение имеет действительные корни?

19. На одной стороне магнитной ленты длиной 100 м сделали непрерывную запись длиной 30 м, а на другой ее стороне – непрерывную запись длиной 20 м. Начала этих записей расположены на ленте случайно. Из ленты вырезали кусок длиной 10 м, начиная с ее середины. Какова вероятность того, что при этом повредили только одну запись?

20. На соседних сторонах квадрата случайно выбраны точки и отрезан треугольник с вершинами в этих точках. Какова вероятность того, что площадь получившегося треугольника не превосходит четвертой части площади квадрата?

21. Случайно выбраны два неотрицательных числа, в сумме не превосходящих 3. Какова вероятность того, что уравнение имеет действительные корни?

22. Числа p и q выбираются случайным образом на отрезках [0,1] и [p, 4] соответственно. Какова вероятность того, что модуль их разности больше их произведения?

23. В прямоугольном треугольнике ABC . На сторонах AB и AC случайным образом выбраны точки M и N. Какова вероятность, что треугольник AMN тупоугольный?

24. ABCD – прямоугольник со сторонами AB = 2 и AD = 1. На сторонах AB и AD случайно взяты точки M и N соответственно. Какова вероятность, что площадь треугольника AMN меньше площади треугольника MBC?

25. На противоположных сторонах линейки шириной 3 см и длиной 20 см случайно сделаны насечки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше 5 см?

ЗАДАЧА 3

1. Три стрелка выстрелили по мишени. При одном выстреле вероятность попадания для них 0.5, 0.7 и 0.9 соответственно. Найти вероятность, что мишень поражена не менее двух раз.

2. Для контроля за работой линии установлены три независимо работающих устройства, которые срабатывают при аварии с вероятностями 0.8, 0.9 и 0.95 соответственно. Найти вероятность, что при аварии сработают 2 устройства.

3. Из трех орудий производят залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле в цель для орудий составляет 0.9, 0.8 и 0.6 соответственно. Найти вероятность, что только 1 орудие попадет в цель.

4. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наугад извлекают 3 шара. Найти вероятность, что они одного цвета.

5. Из пяти ключей к замку подходит один. Ключ, не подошедший при попытке открыть замок, откладывают в сторону. Найти вероятность того, что для открытия замка понадобится не более трех попыток.

6. Два стрелка стреляют по очереди, но не более трех раз каждый. Побеждает тот, кто первым попадет в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле для них составляет 0.9 и 0.8 соответственно. Найти вероятность, что победит более меткий стрелок, если он начинает стрелять первым.

7. В урне 6 белых и 8 черных шаров. Случайным образом из урны последовательно вынуто 2 шара. Найти вероятность, что они одного цвета.

8. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего первый станок равна 0.9, второй – 0.8, третий – 0.85. Найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания 2 станка.

9. В урне 2 белых и 3 черных шара. Два игрока вынимают по очереди шары из урны, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто первым вынимает белый шар. Найти вероятность того, что выиграет игрок, начинающий играть вторым.

10. Рабочий обслуживает 4 станка, которые в течение часа требуют его внимания с вероятностями 0.1, 0.1, 0.2 и 0.3. Найти вероятность того, что в течение часа потребуют его внимания не более одного станка.

11. Три стрелка выстрелили по мишени по одному разу. Вероятности попадания для них 0.9, 0.8 и 0.7 соответственно. Найти вероятность того, что мишень поражена не более одного раза.

12. Стрелок имеет 6 патронов. При одном выстреле по мишени он попадает в цель с вероятностью 0.7. Найти вероятность того, что для поражения цели ему понадобится не более половины патронов.

13. Прибор состоит из трех элементов. Отказы в работе элементов за некоторый промежуток времени T независимы, а их вероятности равны 0.1, 0.2 и 0.25 соответственно. Найти вероятность того, что за время T откажут 2 элемента.

14. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад один за другим без возвращения извлекают шары. Найти вероятность того, что второй по порядку шар будет белым.

15. Из пяти деталей выбирают одну годную последовательным перебором их. Каждая деталь имеет дефект с вероятностью 0.2. Найти вероятность того, что годная деталь нашлась раньше, чем проверили все детали.

16. Три стрелка выстрелили по мишени по одному разу. Вероятности попадания для них 0.5, 0.8 и 0.3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень поражена 2 раза.

17. Из колоды в 36 карт последовательно извлекают 3 карты без возвращения. Найти вероятность того, что извлечено не более одного туза.

18. Ученику выдано 3 заготовки детали. Вероятность того, что он испортит заготовку при обработке, 0.7. Найти вероятность того, что ему хватит заготовок для изготовления детали.

19. Из колоды в 36 карт последовательно извлекают 3 карты без возвращения. Найти вероятность того, что будет извлечен хотя бы 1 туз.

20. Студент знает из 40 вопросов только 30. На экзамене он получает 2 обязательных вопроса. Если он отвечает на них, ему выдается еще 2 вопроса. Для сдачи экзамена ему достаточно ответить уже только на 1 из этих вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен.

21. Прибор состоит из трех элементов. Отказы в работе элементов за некоторый промежуток времени T независимы, а их вероятности равны 0.1, 0.2 и 0.25 соответственно. Найти вероятность того, что за время T откажут не менее двух элементов.

22. Стрелок стреляет по мишени одиночными выстрелами до первого попадания. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0.6. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов.

23. В урне 3 белых и 1 черный шар. Из урны наугад один за другим без возвращения извлекают шары до тех пор, пока не появится черный шар. Найти вероятность того, что будет проделано не более двух таких операций.

24. Среди 10 лампочек 3 имеют дефект. При проверке дефектная лампочка сразу перегорает. Найти вероятность того, что для выбора качественной лампочки пришлось испытать не более трех лампочек.

25. Из колоды в 52 карты последовательно извлекают 3 карты без возвращения. Найти вероятность того, что будет извлечена только 1 десятка.

ЗАДАЧА 4

1. В семи урнах содержится по 2 белых и 2 черных шаров, а в трех урнах – по 7 белых и 3 черных шаров. Какова вероятность, что из урны, взятой наудачу, будет извлечен черный шар? Найти вероятность, что при этом он извлечен из урны с 7 белыми и 3 черными шарами.

2. Станок 70% времени обрабатывает деталь А и 30 % времени – деталь В. При обработке детали А он простаивает 10 % времени работы на нем, а при обработке детали В – 15 %. Какова вероятность застать станок простаивающим? Найти вероятность, что станок, который застали простаивающим, находился в режиме обработки детали В.

3. Деталь проходит одну из трех операций обработки с вероятностями 0.25, 0.35 и 0.40 соответственно. Вероятности получения брака на операциях равны: на первой – 0.02, на второй – 0.04 и на третьей – 0.05. Найти вероятность получения брака после обработки. Какова вероятность, что брак при этом получен на третьей операции?

4. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй – 5 белых и 4 черных шара. Из первой во вторую урну, не глядя, перекладывают 1 шар, после чего из второй урны извлекают 1 шар. Найти вероятность, что это шар белый. Какова вероятность, что при этом из первой урны переложили во вторую черный шар?

5. В цехе имеются 3 станка. Вероятность работы без брака на станках следующая: на первом – 0.78, на втором – 0.92 и на третьем – 0.86. Рабочий может выбрать себе для работы один из этих трех станков с вероятностями 0.5 – первый, 0.2 –второй и 0.3 – третий. Найти вероятность, что он изготовил брак. Какова вероятность, что при этом он работал на третьем станке?

6. Одно из трех орудий по команде стреляет по мишени. Вероятность попадания для орудий составляет 0.8, 0.8. и 0.6. Команда стрелять первому орудию подается в два раза чаще, чем второму и третьему. Найти вероятность, что мишень поражена. Какова вероятность, что мишень поразило третье орудие?

7. В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй – 3 белых и 5 черных шаров. Из первой во вторую урну, не глядя, перекладывают 2 шара, после чего из второй урны извлекают 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Какова вероятность, что при этом из первой урны переложили во вторую шары разного цвета?

8. На сборку поступили транзисторы от двух заводов-изго­то­вителей, причем первый завод поставил 30 % транзисторов, остальное – второй. Вероятность брака для продукции первого завода составляет 0.1, а для второго – 0.15. В прибор поставлено два транзистора. Он не будет работать, если хотя бы один транзистор бракованный. Найти вероятность, что прибор не работает. Какова вероятность, что в него попали транзисторы, поставленные вторым заводом?

9. На конвейер поступили детали, изготовленные двумя рабочими, причем производительность труда первого рабочего вдвое больше, чем второго. Вероятность брака для первого рабочего составляет 0.075, а для второго – 0.09. Найти вероятность, что случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что брак этот принадлежит второму рабочему?

10. В магазине имеются электролампочки местного производства – 60 %, и иногороднего – 40 %. Без отказа работают 500 часов 90 лампочек из 100 в продукции местного производства и 80 лампочек из 100 – в продукции иногороднего. Найти вероятность, что купленная лампочка проработает 500 часов. Какова вероятность, что это лампочка местного производства?

11. Узлы поступают на конвейер с двух участков. Второй участок работает с браком 0.05 и выпускает продукции в 2 раза больше, чем первый. Брак в продукции первого участка составляет 0.10. Найти вероятность, что узел, случайно выбранный с конвейера, окажется годным. Какова вероятность, что он изготовлен на первом участке?

12. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, наугад переложено в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара, 2 шара. Вычислить вероятность вынуть из второй урны черный шар. Какова вероятность, что при этом из первой урны переложили во вторую 2 белых шара?

13. Транзистор принадлежит с вероятностями 0.25, 0.5 и 0. 25 одной из партий. Вероятность того, что транзистор проработает заданное число часов, для партий составляет 0.8, 0.8 и 0.6 соответственно. Определить вероятность того, что транзистор проработает заданное число часов. Какова вероятность, что этот транзистор из второй партии?

14. На сборку поступают детали с двух автоматов, причем продукция первого автомата составляет 80 %. Брак первого автомата 1 %, второго – 4 %. Найти вероятность того, что 2 проверенные детали окажутся бракованными. Какова вероятность, что они изготовлены первым автоматом?

15. Из 20 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0.8, 8 – с вероятностью 0.7, 4 – с вероятностью 0.6 и 3 – с вероятностью 0.5. Наудачу выбранный стрелок производит выстрел. Какова вероятность того, что он промахнется? Какова вероятность, что это стрелок из группы пяти метких?

16. Из 10 студентов группы 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. Из 20 вопросов отлично подготовленный студент знает все, хорошо подготовленный знает 16, посредственно – 10 и плохо подготовленный студент знает 5 вопросов. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент ответит на 3 вопроса. Какова вероятность, что это плохо подготовленный студент?

17. Три монтажника ведут сборку однотипных приборов, причем их производительности труда относятся как 2 : 3 : 5. Вероятность качественной работы для каждого из них равна: 0.8 для первого, 0.6 – для второго и третьего. Найти вероятность того, что наудачу взятый прибор окажется отличного качества. Какова вероятность, что его изготовил первый рабочий?

18. В первой урне 3 белых и 5 красных шаров, во второй – 5 белых и 4 красных, в третьей – 2 белых и 3 красных шара. Из наугад выбранной урны достали два шара. Какова вероятность того, что они красные? Какова вероятность, что они выбраны из второй урны?

19. На сборку поступают детали с трех автоматов, причем продукция первого автомата составляет 20 %, второго – 30 % и третьего – 50 %. Брак первого автомата 0.2 %, второго – 0.3 % и третьего – 0.1 %. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом?

20. В первой урне 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных шара. Из выбранной наугад урны достали 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары белые. Какова вероятность, что их достали из второй урны?

21. Прибор содержит 3 элемента, выходящие из строя с вероятностями 0.1, 0.2 и 0.3. Прибор отказывает в работе при выходе из строя одного элемента с вероятностью 0.2, двух элементов – 0.5 и трех элементов – 1. Найти вероятность того, что прибор отказывает в работе. Какова вероятность, что при этом из строя вышел только один элемент?

22. Вероятность того, что право выстрела будет предоставлено первому стрелку равна 0.3, второму – 0.5, третьему – 0.2. Вероятность попадания для стрелков при одном выстреле равна 0.8, 0.9 и 0.6 соответственно. Вызывается случайным образом 1 из стрелков. Найти вероятность того, что цель будет поражена. Какова вероятность, что стрелял третий стрелок?

23. На сборку с двух заводов – изготовителей в равных количествах поступают детали. У первого завода брак составляет 4 %, у второго – 3 %. Наугад взяли 2 детали. Найти вероятность, что они обе бракованные. Какова вероятность, что они изготовлены разными заводами?

24. Станок обрабатывает 3 вида деталей, причем время обработки деталей находится в соотношении 1 : 5 : 4. При обработке первой детали станок работает с максимальной нагрузкой в течение 70 % времени, при обработке второй – в течение 50 % и при обработке третьей – в течение 20 %. Найти вероятность того, что в случайный момент времени станок будет работать с максимальной нагрузкой. Какова вероятность, что при этом он обрабатывает третью деталь?

25. Первое орудие батареи пристреляно так, что вероятность попадания в цель составляет 0.4. Остальные три орудия попадают в цель с одинаковой вероятностью 0.2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели по выстрелу. Найти вероятность поражения цели. Какова вероятность, что поразило цель первое орудие?

ЗАДАЧА 5

Рассматривается серия из n независимых испытаний с вероятностью «успеха» в отдельном испытании p и вероятностью «неуспеха» q =1 – p. X – число успехов в серии из n независимых испытаний. Требуется:

1) для малого n построить ряд распределения случайной величины X, найти функцию распределения , математическое ожидание MX, дисперсию DX, вероятность и вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях;

2) для большого n и малого np найти приближенно с помощью формулы Пуассона. Оценить точность приближения;

3) для больших n и np найти вероятность приближенно с помощью формулы Муавра – Лапласа.

Вариант	Случай 1		Случай 2		Случай 3
	n	p	n	p	n	p	a	b
1	5	0.2	100	0.002	100	0.2	16	40
2	5	0.4	50	0.004	150	0.4	12	56
3	5	0.9	50	0.002	192	0.25	40	56
4	5	0.5	20	0.01	100	0.1	5	15
5	4	0.15	20	0.015	400	0.2	75	100
6	5	0.25	20	0.02	600	0.4	250	330
7	6	0.1	600	0.0025	768	0.25	190	220
8	4	0.4	50	0.004	100	0.9	85	92
9	4	0.25	400	0.0025	100	0.8	75	84
10	5	0.7	100	0.007	150	0.6	86	96
11	5	0.8	50	0.002	192	0.75	130	150
12	4	0.1	40	0.001	100	0.1	8	20
13	5	0.3	500	0.003	400	0.8	300	330

Окончание таблицы

Вариант	Случай 1		Случай 2		Случай 3
	n	p	n	p	n	p	a	b
14	5	0.08	500	0.004	600	0.6	340	380
15	6	0.3	60	0.01	768	0.75	580	610
16	5	0.1	60	0.02	400	0.1	35	50
17	5	0.6	50	0.01	400	0.9	350	365
18	4	0.5	200	0.0085	900	0.2	170	200
19	6	0.25	150	0.005	1350	0.4	500	650
20	4	0.75	650	0.015	900	0.1	75	100
21	4	0.6	40	0.02	900	0.8	710	735
22	6	0.7	300	0.01	1350	0.6	800	840
23	4	0.3	1000	0.001	100	0.2	15	30
24	6	0.5	100	0.01	150	0.4	45	66
25	6	0.4	10	0.003	192	0.25	45	60

ЗАДАЧА 6

Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события .

1. Ведется стрельба до первого попадания, но не больше 5 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. X – число произведенных выстрелов.

2. Партия из 20 деталей содержит 4 бракованные. Произвольным образом выбрали 5 деталей. X – число доброкачественных деталей среди отобранных.

3. В урне 4 белых и 3 черных шара. Наудачу последовательно извлекают шары из урны до появления белого шара. X – число извлеченных черных шаров.

4. На пути автомашины 4 независимо работающих друг от друга светофора, каждый из которых с вероятностью 0.4 запрещает движение. X – число пройденных без остановки светофоров.

5. По мишени одновременно стреляют 3 стрелка, вероятности попаданий которых по мишени равны 0.65, 0.7 и 0.8. X – число попаданий в мишень.

6. Производится набрасывание колец на колышек до первого успеха, причем число колец равно 5. Вероятность попадания при одном набрасывании равна 0.25. X – число использованных колец.

7. Производится выстрел из трех орудий по цели с вероятностями попадания 0.5, 0.6 и 0.7 для каждого орудия. X – число попаданий.

8. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Наудачу последовательно извлекают шары из урны до появления черного шара. X – число оставшихся в урне белых шаров.

9. Некто забыл последнюю цифру кода замка. Зная, что это одна из цифр 5, 6, 7, 8, 9, он случайным образом их перебирает. X – число попыток.

10. Вероятность попасть в цель для орудия при первом выстреле равна 0.3, при втором – 0.4, при третьем – 0.5, при четвертом – 0.9. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше 4 выстрелов. X – число произведенных выстрелов.

11. В партии из 10 деталей 7 деталей высшего сорта. Случайным образом извлекают детали до появления детали высшего сорта. X – число попыток.

12. По мишени ведется стрельба до первого попадания, но не более 4 раз. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.9. X – число выстрелов.

13. В партии из 15 деталей 10 деталей высшего сорта, остальные – первого сорта. Случайным образом отобраны 4 детали. X – число деталей первого сорта среди отобранных.

14. Трасса движения для слаломиста состоит из 4 участков, каждый из которых он проходит с вероятностью 0.8. В случае непрохождения очередного участка он снимается с трассы. X – число пройденных участков.

15. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но делает не более 5 бросков. Вероятность попадания при каждом броске 0.4. X – число сделанных бросков.

16. В группе из 6 изделий одно бракованное. Изделия выбирают одно за другим наугад до появления бракованного. X – число извлеченных доброкачественных изделий.

17. В урне 5 черных, 3 белых и 2 красных шара. Наудачу из урны извлекают 3 шара. X – число различных шаров среди вынутых шаров.

18. Производятся последовательные независимые испытания 5 приборов на надежность. Каждый прибор надежен с вероятностью 0.7. Следующий прибор проверяется только в том случае, если предыдущий прибор оказался надежным. X – число проверенных приборов.

19. В группе из 10 изделий 4 бракованных. Изделия выбирают одно за другим наугад до появления доброкачественного. X – число извлеченных изделий.

20. В приборе имеется 3 элемента, вероятности отказа которых за определенное время работы равны соответственно 0.2, 0.3, 0.4. Отказы элементов независимы. X – число отказавших элементов.

21. В группе из 10 изделий 4 бракованных. Случайным образом выбраны 3 детали. X – число бракованных деталей среди отобранных.

22. По мишени одновременно стреляют 4 стрелка с вероятностью попадания 0.6 для каждого. X – число попаданий.

23. В ящике 4 пары одинаковых ботинок. Вынимаем ботинки не глядя, один за другим до тех пор, пока не составится пара. X – число вынутых ботинок.

24. Известно, что при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков четна. X – сумма выпавших очков.

25. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0.1, при втором – 0.3, при третьем – 0.5 и при четвертом – 0.8. Производится 4 выстрела. X – число попаданий в цель.

ЗАДАЧА 7

Плотность вероятности случайной величины X на интервале и сам интервал заданы в условии, вне интервала плотность вероятности = 0. Функция зависит от константы A. Требуется:

1) найти константу A;

2) построить графики плотности и функции распределения;

3) найти математическое ожидание MX, дисперсию DX и средне-квадратическое отклонение σ;

4) вычислить .

Варианты
1		(0,1)
2	2x+A	(0,1)
3		(0,1)
4	A(2x+1)	(0,2)
5	A(x+2)	(0,2)
6		(0,1)
7	2–Ax	(0,1)
8		(0,1)
9	A(4+3x)	(0,1)
10		(0,2)
11		(0,1)
12	A(2+3x)	(0,1)
13		(0,1)
14	A(1+6x)	(0,1)
15		(0,1)
16		(0,2)
17		(0,1)
18		(0,1)
19		(0,2)
20		(0,1)
21		(0,1)
22		(0,1)
23		(0,1)
24		(0,1)
25		(0,1)

ЗАДАЧА 8

Отклонение размера детали от номинала есть случайная величина . Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале . Требуется:

1) записать формулу плотности распределения и построить ее график;

2) построить график функции распределения по точкам ;

3) найти вероятность того, что при выборе 3 деталей отклонение каждой из них попадет в интервал ;

4) определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью 0.95 хотя бы одна деталь была годной.

Вариант	а	σ	ε	α	β
1	2	2	2.5	0	2
2	3	1	0.5	1	2
3	–1	5	2	2	4
4	0	3	5	3	4
5	–2	0.2	0.1	–1	1
6	1	0.5	1.5	2	3
7	–1	2	1	–3	2
8	0	1	0.4	0.5	2.5
9	1	3	1.5	–1	4
10	–2	1	0.3	–1	3
11	–2	2	1.0	1	4
12	–1	3	1.5	–2	1
13	0	4	2	–1	5
14	–1	0.4	0.2	–2	1
15	3	2	1.5	–1	3
16	1	4	2	–1	5

Окончание таблицы

Вариант	а	σ	ε	α	β
17	5	12	4	1	7
18	–1	1	0.3	–0.5	1
19	1	2	0.5	0.5	3
20	0	1.5	0.4	–1	2
21	–1	1	0.4	–2	3
22	1	3	1.5	–1	2
23	–3	1	0.5	–5	–2
24	2	0.05	0.1	0.5	4
25	–10	4	3	–3	3