Кириллов Исследование операций / Расчетно-графическое задание №2 по ИО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра экономической информатики

Расчетно-графическое задание №2

по курсу

«Исследование операций»

Выполнил:

Факультет Бизнеса

Группа: ФБИ-22

Преподаватель: Кириллов Ю.В.

Новосибирск 2014

Цель работы

– приобрести практические навыки и опыт решения транспортной задачи

(ТЗ) линейного программирования в матричной постановке с помощью программы пакет экономических расчетов (ПЭР);

– научиться анализировать полученное решение, находить возможные варианты решения;

– увидеть связь между ТЗ и общей задачей линейного программирования

(ОЗЛП), а также между математическими моделями ТЗ и задачи о назначениях (ЗН).

Условие задачи

Транспортная фирма обслуживает n поставщиков и m потребителей однородного груза. В течение дня из каждого пункта поставки фирма должна вывезти соответственно A₁,A₂,…,A_n тонн груза, а в каждый пункт потребления доставить соответственно B₁, B₂, …, B_m тонн. Себестоимость (в тысячах рублей) перевозки одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю заданы матрицей C=║_n×m.Найти такой план перевозки грузов, при котором издержки транспортной фирмы будут минимальными.

Рис.1 Исходные условия «Вариант 4»

Запишем математическую модель задачи:

Z(X)= 10x₁₁+8x₁₂+12x₁₃+9x₁₄+6x₁₅+

+5x₂₁+7x₂₂+11x₂₃+6x₂₄+7x₂₅+

+12x₃₁+8x₃₂+9x₃₃+12x₃₄+10x₃₅

Ограничения по полному вывозу имеющейся продукции со всех складов представлены уравнениями:

Ограничения по полному удовлетворению потребностей всех магазинов представлены уравнениями:

Построим модель двойственной к заданной задаче:

Z(x)=80u₁+320u₂+225u₃+215v₁+110v₂₊120v₃+90v₄+125v₅→max

3. Построим опорные планы ТЗ методом северо-западного угла, методом минимального элемента и методом Фогеля. Сравним результаты.

Так как =625, =660 (потребности превышают запасы). Данная модель ТЗ является открытой. Согласно правилам сведения открытой модели ТЗ к закрытой, введем фиктивный склад с запасом =35 ед. Тарифы перевозок с этого склада в любой магазин равны 0.

Таблица 1

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	8	12	9	6	80
A2	5	7	11	6	7	320
A3	12	8	9	12	10	225
A4	0	0	0	0	0	35
Потребность ед. прод.	215	110	120	90	125	> 660>625

Метод северо-западного угла

Первая клетка для заполнения в табл. 1 А₁В₁. Потребности в В₁ составляют 215, а запасы в А₁ равны 80. Удовлетворим полностью потребности В₁ и больше туда не с какого склада не повезем. Остаток запасов в А₁ равен 135.

Таблица 2

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10 80	8	12	9	6	80-80=0
A2	5 135	7 110	11 75	6	7	320-135=185-110=75-75=0
A3	12	8	9 45	12 90	10 90	225-45=180-90=90-90=0
A4	0	0	0	0	0 35	35-35=0
Потребность ед. прод.	215-80=135-135=0	110-110=0	120-75=45-45=0	90-90=0	125-35=90-90=0	> 660>625

Следующий шаг: из всех оставшихся свободных клеток рабочего поля Т-таблицы левой верхней является А₂В₁. Отдадим В₁ остаток с А₂. и рассчитаемся с этим складом полностью. При этом в А₂ еще останются запасы в 185 ед.

Следующий кандидат на заполнение – клетка А₂В₂. С потребностью В₂ окончательно рассчитываемся из А_2.

Аналогичным образом распределяем оставшиеся запасы между еще имеющимися потребностями. Последовательное заполнение клеток А₂В₃ , А₃В₃ , А₃В₄, А₃В₅ и А₄В₅.

Проверим выполнение условия вырождения (число занятых клеток должно равняться): m+n-1=8. Следовательно, данный опорный план является невырожденным.

⁼

Общая стоимость запланированных в нем перевозок составляет:

Z() = 10*80+5*135+7*110+11*75+9*45+12*90+10*90=5455

Метод минимального элемента

Построим методом МЭ начальный опорный план задачи. Для этого выберем в исходной Т-таблице (см. табл. 1) клетки - кандидаты на заполнение: очевидно, это одна из перевозок А₄В_j, тарифы которых наименьшие (равны 0). В принципе выбрать можно любую из них, но мы остановимся на А₄В_5.

Таблица 3

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	8	12	9	6 80	80-80=0
A2	5 215	7 5	11	6 90	7 10	320-215=105-90=15-10=5
A3	12	8 105	9 120	12	10	225-105=120-120=0
A4	0	0	0	0	0 35	35-35=0
Потребность ед. прод.	215-215=0	110-5=105-105=0	120-120=0	90-90=0	125-35=90-80=10	> 660>625

Следующими кандидатами на заполнение по методу МЭ будут клетка А₂В₁.

Следующими кандидатами становятся А₁В₅ и А₂В₄, так как тарифы у них равны (с₁₅=с₂₄=6). Теперь А₂В₂ и А₂В₅ становятся следующими кандидатами на заполнение на следующем шаге (с₂₂=с₂₅=7).

Следующим «по рангу» кандидатом на заполнение будет клетка А₃В₂.

Осталась единственная свободная клетка А₃В₃, заполняя которую, устанавливаем окончательный баланс распределений по строкам и столбцам (т.е. запасов по потребностям).

Проверим выполнение условия вырождения: число занятых клеток должно равняется 8. Следовательно, данный опорный план является невырожденным.

⁼

Общая стоимость запланированных в нем перевозок составляет: Z() = 6*80+5*215+7*5+6*90+7*10+8*105+9*120=4120

Таким образом, начальный опорный план по методу МЭ оказывается более дешевым по сравнению с начальным планом по методу NWC.

Метод Фогеля

Считаем разности между двумя наименьшими тарифами свободных клеток в каждой строке и каждом столбце и записываем их в соответствующие клетки дополнительной строки и столбца.

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.		Δ1
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	8	12	9	6 80	80-80=0		2,2
A2	5 215	7	11	6 90	7 15	320-215=105-90=15-15=0		1,1,4
A3	12	8 110	9 85	12	10 30	225-30=195-110=85-85=0		1,1,1,1
A4	0	0	0 35	0	0	35-35=0		0
Потребность ед. прод.	215-215=0	110-110=0	120-35=85-85=0	90-90=0	125-80=45-15=30-30=0
Δ1	5 5	7 1 1 8	9 2 2 3	6 3 6	6 1 3 10

Очевидно, что наибольшие разности первого шага находятся в столбце В_3. Заполняем клетку с наименьшим тарифом: . На следующем шаге процесс повторяется для оставшихся свободных клеток. Наибольшая разность второго шага становится в столбце В₁. Заполняем в нем клетку с наименьшим тарифом .

Аналогично методу МЭ условие вырождения здесь также выполняется, т.к. число занятых клеток равно 8. Это означает, что начальный опорный план является невырожденным .

⁼

Общие затраты на все перевозки в начальном опорном плане по методу Фогеля составляют:

Z() = 5*215+6*90+6*80+7*15+8*110+9*85+10*30=4145.

4. На основе опорного плана, полученного методом северо-западного угла, решим задачу методом потенциалов.

Таблица 4

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10 80	8	12	9	6	80-80=0
A2	5 135	7 110	11 75	6	7	320-135=185-110=75-75=0
A3	12	8	9 45	12 90	10 90	225-45=180-90=90-90=0
A4	0	0	0	0	0 35	35-35=0
Потребность ед. прод.	215-80=135-135=0	110-110=0	120-75=45-45=0	90-90=0	125-35=90-90=0	> 660>625

Построим уравнения для заполненных клеток табл.4:

Рассмотрим теперь вычисление оценки рентабельности перевозок, не включенных в опорный план Т-таблицы, используя полученные значения потенциалов:

Из системы следует, что критерий оптимальности плана еще не выполняется, т.к. оценки рентабельности перевозок – положительны. С экономической точки зрения это означает, что в условиях, когда запланированные перевозки имеют 100% рентабельность, среди не включенных в план есть такие, которые имеют рентабельность выше 100%, из-за своей низкой себестоимости. Отсюда следует, что перевозку с наибольшей оценкой рентабельности необходимо включить в план в первую очередь. Чтобы включить перевозку в следующий опорный план, необходимо загрузить в клетку определенное количество груза. Но, чтобы не нарушить при этом созданный в начальном опорном плане баланс запасов и потребностей по строкам и столбцам табл.19, необходимо для клетки построить цикл пересчета.

Далее следует обозначить знаками (+) и (-) вершины цикла, начиная обязательно со знака (+) в выбранной свободной клетке, затем по очереди все остальные вершины цикла.

В вершины, обозначенные (+) добавляем часть груза, которую вычитаем у клеток с (-), причем общее количество вычитаемого количества груза равняется количеству добавленного груза. Таким образом, происходит перераспределение груза внутри цикла, но общий баланс по строкам и столбцам не изменяется. Именно поэтому количество клеток цикла с (+) должно равняться количеству клеток с (-). Количество вычитаемого груза определяется по принципу: вычесть у каждой отрицательной клетки количество равное наименьшей загрузке всех клеток с (-).

Таким образом, новый опорный план данной ТЗ будет выглядеть так, как показано в таблице 5.

Таблица 5

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10 5	8	12	9	6 75	80
A2	5 210	7 110	11	6	7	320
A3	12	8	9 120	12 90	10 15	225
A4	0	0	0	0	0 35	35
Потребность ед. прод.	215	110	120	90	125	> 660>625

Z=4630

Далее процесс повторяется: полученный опорный план необходимо вновь проверить по практическим правилам критерия оптимальности. Для этого вновь составляем систему уравнений для занятых клеток табл. 5:

Перевозка имеет самую высокую оценку рентабельности, поэтому включаем её в следующий план.

Таблица 6

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	8	12	9	6 80	80
A2	5 215	7 105	11	6	7	320
A3	12	8 5	9 120	12 90	10 10	225
A4	0	0	0	0	0 35	35
Потребность ед. прод.	215	110	120	90	125	> 660>625

Z=4590

Из системы следует, что критерий оптимальности плана еще не выполняется. Перевозку с наибольшей оценкой рентабельности необходимо включить в план в первую очередь.

Таблица 7

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	8	12	9	6 80	80
A2	5 215	7 15	11	6 90	7	320
A3	12	8 95	9 120	12	10 10	225
A4	0	0	0	0	0 35	35
Потребность ед. прод.	215	110	120	90	125	> 660>625