Кириллов Исследование операций / Расчетно-графическая работа №1 по ИО ЛП

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Кафедра экономической информатики

Расчетно-графическая работа №1

По курсу «Исследование операций»

«Линейное программирование»

Студент группы ФБИ-22

Преподаватель: к.т.н., доцент кафедры ЭИ

Кириллов Ю. В.

Новосибирск 2014

Цели задания:

1. Понимать смысл, различать, осознанно использовать следующие понятия:

математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП);

• формы записи ЗЛП;

• геометрическая интерпретация ЗЛП;

• линии уровня функции;

• градиент функции;

• двойственные задачи;

• двойственные оценки;

• устойчивость решения ЗЛП;

• устойчивость оценок.

2. получить навыки, уметь:

• строить математические модели ЗЛП;

• переходить от одной формы записи ЗЛП к другой;

• решать графически ЗЛП с двумя переменными;

• строить модель задачи, двойственной к исходной;

• находить решение ЗЛП на основе решения задачи, двойственной к ней;

• интерпретировать полученные результаты в терминах решаемой задачи;

• проводить анализ устойчивости решения ЗЛП на основе геометрической интерпретации.

Ход работы:

1. Записали математическую модель задачи.

2. Построили модель задачи, двойственной к заданной, и дала ее геометрическую интерпретацию.

3. Решили двойственную задачу графически. Используя полученный результат, нашли

решение исходной задачи.

4. Дали экономическую интерпретацию двойственным оценкам.

5. Произвели анализ устойчивости полученного решения и двойственных оценок на основе геометрической интерпретации двойственной задачи.

6. Решили задачу с помощью Пакета Экономических расчетов (ПЭР) и сравнили результаты решения с результатами, полученными вручную.

7. Решили задачу с помощью электронных таблиц Microsoft Excel и сравнили результаты с результатами, полученными ранее.

Условие задачи : Коммерческая фирма предполагает осуществить оптовую закупку продовольствия, располагая для этого суммой S рублей. Номенклатура продовольствия включает пять наименований. Покупная цена каждого вида продукта равна соответственно s₁, s₂, s₃, s₄ и s₅ рублей за килограмм. В распоряжении фирмы имеются холодильные камеры общей площадью V кв. метров. Площадь, необходимая для хранения одного килограмма продукта каждого вида, равна соответственно v₁, v₂, v₃, v₄ кв. м; при этом продукт пятого вида хранению не подлежит и должен быть реализован 4 немедленно. При своевременной реализации продукта каждого вида прибыль фирмы составит соответственно p₁, p₂, p₃, p₄ и p₅ рублей за килограмм.

Определить объемы закупки продовольствия каждого вида, при которых фирма может рассчитывать на максимальную прибыль.

Вариант задания:

Таблица 1. Вариант задания

Решение задачи:

Составим математическую модель для данной задачи. Для этого примем количество закупаемого первого товара за x₁, второго за x₂, третьего за x₃, четвертого за x₄, пятого за x₅.

Целевая функция – это функция, показывающее какое количество прибыли будет получено фирмой от реализации продукции. В нашем случае – от продуктов x₁, x₂,x₃,x₄,x₅ соответственно.

Поскольку в данной задаче цель фирмы получить максимально возможную прибыль, то целевая функция должна стремится к максимуму. Другими словами: наша цель – максимизация прибыли, а, следовательно, и максимизация целевой функции.

В общем виде функция имеет вид:

)=p₁*x₁+p₂*x₂+p₃*x₃+p₄*x₄+p₅*x₅max

Однако, поскольку действия фирмы ограничены запасами имеющихся ресурсов, то для достижения поставленных целей необходимо рационально их использовать.

Необходимо составить ограничения:

• для запасов денег, выделенных для закупки необходимых объемов продукции;

• для площадей холодильников, отведенных под хранение продуктов.

Поскольку последний продукт x₅ не подлежит хранению, то во второе условие он включен не будет.

В общем случае условия можно представить в виде:

Стоит заметить, что все переменные должны удовлетворять условию:

Таким образом, задача сводится к набору условий.

Z(x)=18x₁+20x₂+48x₃+5x₄+12x₅→max

Обратимся к построению задачи двойственной к данной.

Поскольку модель исходной задачи имеет лишь 2 ограничения, то модель двойственной задачи будет содержать только две переменные.

Примем в качестве переменных y₁ – затраты по первому виду ресурсов и y₂ – затраты по второму виду ресурсов.

Поскольку цель фирмы минимизировать свои затраты, то функция будет стремиться к минимизации.

В общем виде модель двойственной задачи имеет вид:

)=S*y₁+V*y₂min

Что касается ограничений двойственной задачи, то их количество равно числу переменных прямой задачи.

В общем виде ограничения двойственной задачи можно записать в виде системы:

Необходимо учесть, что переменные должны быть неотрицательными:

Модель двойственной задачи:

)=13000*y₁+50*y₂min

Графическое решение двойственной задачи:

Рисунок 1. Графическое решение двойственной задачи

Можно заметить из графика, что в данном решении существует 10 угловых точек (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J). Определить оптимальную точку можно двумя способами:

• подстановка координат точек пересечения в целевую функцию;

• нахождение градиента целевой функции.

Воспользуемся вторым способом.

Для исследуемой функции градиент равен:

Представим в более удобном виде(учитывая масштаб графика).

)

К градиенту построим линию нормали. Перемещая линию нормали вдоль линии градиента, получим, что оптимум находится в точке G.

Найдем координаты этой точки.

y2=45 y1=

Таким образом, получаем, что:

y₁=0.3 – это оценка относительной стоимости каждого вида продукта;

y₂=45 – это оценка относительной стоимости площадей, необходимых для хранения одного килограмма продукта каждого вида.

Найдем значение целевой функции:

)=13000*0.3+50*45=3900+2250=6150

С помощью второй теоремы двойственности найдем решение прямой задачи.

Вторая теорема двойственности гласит: для того, чтобы планы прямой и двойственной задачи были оптимальны необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Т.е.



Таким образом, в оптимальном плане задачи только координаты x₁ и x₅ отличны от нуля. Составим соотношения по ограничениям задачи.

Так как

Найдем значение целевой функции:

Итак, решение исходной задачи и значение целевой функции прямой и двойственной задачи равны друг другу и равны 6150.

Экономическая интерпретация:

Выпишем все переменные основной и двойственной задачи:

Пользуясь таблицей соответствия и конечной симплекс-таблицей выпишем все переменные двойственной задачи:

Величины показывают, что первого типа товара и третьего, нужно закупить в количестве 250 и 137.5 единиц. Товары второго, четвертого и пятого типов закупать нецелесообразно. Двойственные оценки это подтверждают. Двойственные оценки являются мерой убыточности производства и показывают разницу между себестоимостью товара и доходом, получаемым при его продаже.

Анализ устойчивости полученного решения и двойственных оценок:

Рисунок 2. Анализ устойчивости

b₁=13000

b₂=50

Очевидно, что при изменении количества ресурсов будет изменяться и общий доход, то есть целевая функция. Это подтверждается третьей теоремой двойственности.

Тогда:

И

Таким образом, если запасы обоих ресурсов изменяются в указанных выше пределах, координаты оптимального плана двойственной задачи = не меняются, и новое значение целевой функции можно найти следующим образом:

Zнов=

Где,

- оптимальное значение, полученное из итоговой таблицы,

ΔZ – изменение целевой функции, найденное по формуле

При этом Δb₁ и Δb₂ – должны быть в пределах интервала устойчивости.

Представим уравнение линии уровня в следующей форме:

Где отношение показывает тангенс угла наклона прямой, соответствующей уравнению, к оси OY₁.

Линия уровня, проходящая через точку G имеет координаты , которые при изменении тангенса угла наклона линии уровня останутся неизменными, поэтому при изменении b₁ прямая будет поворачиваться вокруг точки G, причем при увеличении b₁ – по часовой стрелке, а при уменьшении b₁ – соответственно против. Учитывая свойства параллельных прямых, найдем (верхний предел устойчивости) и (нижний предел устойчивости).

1. Поворот по часовой стрелке (при увеличении b₁).

Рисунок 3. Графический анализ устойчивости двойственных оценок.

2. Поворот против часовой стрелке (при уменьшении b₁).

Рисунок 4. Графический анализ устойчивости двойственных оценок.

При уменьшении (увеличении) b₁, а следовательно при повороте линии уровня против часовой стрелки оптимальная точка может изменяться и координаты изменятся.

При совпадении линии уровня

=*+

И прямой

Имеем пропорцию:

Получаем из пропорции b_1max=12500, что полностью совпадает с решением полученным в ПЭР.

В случае, когда b₁ уменьшается, при совпадении линии уровня и прямой

является выполнение соответствия:

Тогда b_1min=7500, что также соответствует алгебраическому решению.

Пусть теперь изменяется b₂, а b₁ = const.

Очевидно, что эти изменения могут быть проиллюстрированы геометрически как для b₁. Только наклон линии к оси OY₂. Тогда при увеличении b₂, линия уровня будет поворачиваться вокруг G против часовой стрелки, пока не совпадет с прямой а это произойдет при условии:

Откуда b_2max=50

Аналогично, уменьшение b₂ приведет в конце концов к совпадению с прямой при условии:

b_2min=86.6667. Как видно результаты полностью совпадают с решением найденным с помощью ПЭР.

Решение задачи симплекс-методом

Таблица3. Решение задачи симплекс-методом:

Б	X1	X2	X3	X4	X5	S1	S2	В
S1	30	50	30	50	40	1	0	13000
S2	0.2	0.2	1.6	0.1	0	0	1	50
Δj=	18	20	48	5	12	0	0
S1	26.25	46.25	0	48.13	40	1	-18.7	12063
X3	0.125	0.125	1	0.063	0	0	0.625	31.25
Δj=	12	14	0	2	12	0	-30	1500
S1	-20	0	-370	25	40	1	-250	500
X2	1	1	8	0.5	0	0	5	250
Δj=	-2	0	-112	-5	12	0	-100	5000
X5	-0.5	0	-9.25	0.625	1	0.025	-6.25	12.50
X2	1	1	8	0.5	0	0	5	250
Δj=	4	0	-1	-12.5	0	-0.3	-25	5150
X1	0	0.5	-5.25	0.875	1	0.25	-3.75	137.5
X3	1	1	8	0.5	0	0	5	250
Δj=	0	-4	-33	-14.5	0	-0.3	-45	6150

Рисунок 5. Решение задачи симплекс-методом

Задача решена верно, так как ответы полученные аналитически и с помощью ПЭР равны.

Автоматизация решения задач линейного программирования с использованием Microsoft Excel:

Рисунок 6. Решение с помощью Microsoft Excel

Вывод:

1. В ходе работы были изучены понятия:

• формы записи ЗЛП;

• геометрическая интерпретация ЗЛП;

• линии уровня функции;

• градиент функции;

• двойственные задачи;

• двойственные оценки;

• устойчивость решения ЗЛП;

• устойчивость оценок.

2. И получены навыки по:

• Построению математические модели ЗЛП;

• Переходу от одной формы записи ЗЛП к другой;

• Решению графически ЗЛП с двумя переменными;

• Построению модель задачи, двойственной к исходной;

• Нахождению решение ЗЛП на основе решения задачи, двойственной к ней;

• Интерпретации полученные результаты в терминах решаемой задачи;

• Проведению анализа устойчивости решения ЗЛП на основе геометрической интерпретации.