§ 2. Теорема дедукции и принцип приведения к абсурду

Теорема 1. Теорема дедукции

Если G, A⊢В, то G⊢A®В.

Пример. ⊢ ØA®(A®B).

Следствие. Обобщённая адекватность

Если G⊢A, то G⊨A.

Противоречивые множества.

Теорема 2. Принцип приведения к абсурду

Если GÈ{ØA} противоречиво, то G⊨A.

§ 3. Максимальные множества высказывательных схем

Максимальные множества ВС.

Теорема 1. Для любого непротиворечивого множества ВС G существует максимальное непротиворечивое множество ВС D такое, что GÌ D.

Теорема 2. Для любого непротиворечивого максимального множества ВС D и для любой ВС А если D⊢A, то A Î D.

Теорема 3. Если D – максимальное непротиворечивое множество ВС, то D выполнимо.

§ 4. Полнота исчисления высказываний

Теорема 1. Всякое непротиворечивое множество ВС выполнимо.

Теорема 2. Обобщённая полнота

Для любого множества ВС G и для любой ВС А если G⊨A, то G⊢A.

Следствие. Теорема полноты

Всякая тавтология выводима в ИВ.

Глава IV. Теории первого порядка

§ 1. Теории первого порядка

Теория первого порядка T задается тремя условиями:

1) Некоторым языком первого порядка L_T .

Сокращения:

(D3) (jÙy) вместо Ø(j®Øy).

(D4) (jÚy) вместо (Øj®y).

(D5) (j«y) вместо ((j®y)Ù(y®j)).

(D6) ($a)j вместо Ø("a)Øj.

2) Некоторым первоначальным перечнем формул – списком аксиом данной теории.

3) Некоторым количеством правил вывода.

Логические и специальные аксиомы.

Логические аксиомы:

(AS-1) Любая формула вида j®(y®j) является аксиомой.

(AS-2) Любая формула вида (j®(y®c))®((j®y)®(j®c)) является аксиомой.

(AS-3) Любая формула вида (Øj®Øy)®((Øj®y)®j) является аксиомой.

(AS-4) Любая формула вида ("a)(j®y)®(j®("a)y) является аксиомой, если aÏ Free j.

(AS-5) Любая формула вида ("a)j®j¢ является аксиомой, где формула j готова для подстановки терма t на месте переменной a и j¢ = j .

Понятие a-частного случая формулы j.

Правила вывода:

(R1) = (MP) (правило отделения): Из j и j®y получается y.

(R2) = (Gen) = (G) (правило обобщения): Из j получается ("a)j.

(Формальное) Доказательство. Теорема. T⊢j.

Теорема 1. 1°. (А) Любая аксиома является теоремой.

2°. (Т) Любой частный случай любой тавтологии является теоремой.

3°. (MP) Если T⊢j и T⊢j®y, то T⊢y.

4°. (Gen) Если T⊢j, то T⊢ ("a)j для любой переменной a.

Теорема 2. 1°. Если ⊢j или ⊢y, то ⊢jÚy.

2°. Если ⊢Øj, то ⊢j®y для любой формулы y.

3°. Если ⊢y, то ⊢j®y для любой формулы j.

4°. Если ⊢j и ⊢y, то ⊢jÙy и наоборот.

5°. (S) Если ⊢j®y и ⊢y®c, то ⊢j®c.

Теорема 3. 1°. Если ⊢j®y и aÏ Free j, то ⊢j®("a)y.

В частности, если ⊢jÚy и aÏ Free j, то ⊢jÚ("a)y.

2°. Если ⊢j®y и aÏ Free y, то ⊢ ($a)jÚy.

Теорема 4. 1°. Если j¢ – a-частный случай j и ⊢j, то ⊢j¢.

2°. (GnG) ⊢j тогда и только тогда, когда ⊢ ("a)j.

Теорема 5. Если j¢ – a-частный случай j, то ⊢j¢®($a)j.