
- •Глава I. Логика высказываний
- •§ 1. Высказывательные схемы
- •§ 2. Свойства тавтологий
- •§ 3. Равносильность высказывательных схем
- •§ 4. Кнф днф. Скнф и сднф
- •§ 5. Принцип двойственности
- •§ 6. Отношение следования
- •§ 7. Булевы функции. Полиномы Жегалкина
- •§ 3. Чтение знакосочетаний
- •§ 4. Грамматика языков первого порядка: свобода, связанность, подстановки
- •§ 5. Семантика языков первого порядка: интерпретации и значения термов
- •§ 6. Семантика языков первого порядка: истинностные значения формул
- •§ 7. Понятие истины для языков первого порядка
- •§ 8. Истинность и логическая истинность
- •§ 9. Дедуктивная сила и равносильность формул
- •§ 10. Простейшие свойства кванторов
- •§ 11. Распределительные законы для кванторов
- •§ 12. Дальнейшие распределительные законы. Предварённая нормальная форма
- •§ 13. Типовые кванторы
- •Глава III. Исчисление высказываний
- •§ 1. Классическое исчисление высказываний
- •§ 2. Теорема дедукции и принцип приведения к абсурду
- •§ 3. Максимальные множества высказывательных схем
- •§ 4. Полнота исчисления высказываний
- •Глава IV. Теории первого порядка
- •§ 1. Теории первого порядка
- •§ 2. Некоторые методы доказательства
- •§ 3. Модели теорий первого порядка
§ 2. Теорема дедукции и принцип приведения к абсурду
Теорема 1. Теорема дедукции
Если G, A⊢В, то G⊢A®В.
Пример. ⊢ ØA®(A®B).
Следствие. Обобщённая адекватность
Если G⊢A, то G⊨A.
Противоречивые множества.
Теорема 2. Принцип приведения к абсурду
Если GÈ{ØA} противоречиво, то G⊨A.
§ 3. Максимальные множества высказывательных схем
Максимальные множества ВС.
Теорема 1. Для любого непротиворечивого множества ВС G существует максимальное непротиворечивое множество ВС D такое, что GÌ D.
Теорема 2. Для любого непротиворечивого максимального множества ВС D и для любой ВС А если D⊢A, то A Î D.
Теорема 3. Если D – максимальное непротиворечивое множество ВС, то D выполнимо.
§ 4. Полнота исчисления высказываний
Теорема 1. Всякое непротиворечивое множество ВС выполнимо.
Теорема 2. Обобщённая полнота
Для любого множества ВС G и для любой ВС А если G⊨A, то G⊢A.
Следствие. Теорема полноты
Всякая тавтология выводима в ИВ.
Глава IV. Теории первого порядка
§ 1. Теории первого порядка
Теория первого порядка T задается тремя условиями:
1) Некоторым языком первого порядка LT .
Сокращения:
(D3) (jÙy) вместо Ø(j®Øy).
(D4) (jÚy) вместо (Øj®y).
(D5) (j«y) вместо ((j®y)Ù(y®j)).
(D6) ($a)j вместо Ø("a)Øj.
2) Некоторым первоначальным перечнем формул – списком аксиом данной теории.
3) Некоторым количеством правил вывода.
Логические и специальные аксиомы.
Логические аксиомы:
(AS-1) Любая формула вида j®(y®j) является аксиомой.
(AS-2) Любая формула вида (j®(y®c))®((j®y)®(j®c)) является аксиомой.
(AS-3) Любая формула вида (Øj®Øy)®((Øj®y)®j) является аксиомой.
(AS-4) Любая формула вида ("a)(j®y)®(j®("a)y) является аксиомой, если aÏ Free j.
(AS-5) Любая формула вида ("a)j®j¢ является аксиомой, где формула j готова для подстановки терма t на месте переменной a и j¢ = j .
Понятие a-частного случая формулы j.
Правила вывода:
(R1) = (MP) (правило отделения): Из j и j®y получается y.
(R2) = (Gen) = (G) (правило обобщения): Из j получается ("a)j.
(Формальное) Доказательство. Теорема. T⊢j.
Теорема 1. 1°. (А) Любая аксиома является теоремой.
2°. (Т) Любой частный случай любой тавтологии является теоремой.
3°. (MP) Если T⊢j и T⊢j®y, то T⊢y.
4°. (Gen) Если T⊢j, то T⊢ ("a)j для любой переменной a.
Теорема 2. 1°. Если ⊢j или ⊢y, то ⊢jÚy.
2°. Если ⊢Øj, то ⊢j®y для любой формулы y.
3°. Если ⊢y, то ⊢j®y для любой формулы j.
4°. Если ⊢j и ⊢y, то ⊢jÙy и наоборот.
5°. (S) Если ⊢j®y и ⊢y®c, то ⊢j®c.
Теорема 3. 1°. Если ⊢j®y и aÏ Free j, то ⊢j®("a)y.
В частности, если ⊢jÚy и aÏ Free j, то ⊢jÚ("a)y.
2°. Если ⊢j®y и aÏ Free y, то ⊢ ($a)jÚy.
Теорема 4. 1°. Если j¢ – a-частный случай j и ⊢j, то ⊢j¢.
2°. (GnG) ⊢j тогда и только тогда, когда ⊢ ("a)j.
Теорема 5. Если j¢ – a-частный случай j, то ⊢j¢®($a)j.