§ 6. Раскраски графов (цветные графы)

k-раскраски. Правильные раскраски. Хроматическое число графа. (G).

Примеры

Теорема 1. Любое натуральное число является хроматическим числом некоторого графа.

Двудольные (2-хроматические) графы.

Теорема 2. Теорема Кёнига

Граф G является 2-хроматическим тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечётной длины.

Теорема 3. Для раскраски любого планарного графа G достаточно 6 красок.

Теорема 4. Для раскраски любого планарного графа G достаточно 5 красок.

Проблема четырёх красок.

Теорема 5^. Для раскраски любого планарного графа G достаточно 4 красок.

Глава 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения

§ 1. Формальные степенные ряды

(a_n), n  0  a(x) = или a^e(x) = .

a(x) = – производящая функция последовательности (a_n),

a^e(x) = – экспоненциальная производящая функция последовательности (a_n).

(a_n) = (b_n)  (n)(a_n = b_n)  a^e(x) = b^e(x).

Сумма и произведение формальных степенных рядов. Произведение числа на формальный степенной ряд.

a(x)+b(x) = c(x), a^e(x)+b^e(x) = c^e(x): c_n = a_n+b_n.

a(x)b(x) = c(x): c_n = ; a^e(x)b^e(x) = c^e(x): c_n =

a(x) = b(x), a^е(x) = b^е(x): b_n = a_n.

Многочлены как частные случаи формальных степенных рядов.

R[[x]] – алгебра Коши. R^e[[x]] – исчисление Блиссара.

Теорема 1.

1. R[[x]] и R^e[[x]] образуют целостные кольца относительно операций сложения и умножения.

2. R[[x]] и R^e[[x]] являются (линейными) алгебрами над полем действительных чисел R.

Суперпозиция (композиция) формальных степенных рядов.

(b a)(x) = b(a(x)).

Теорема 2.

1. Если a(x) = и a₀ = 0, то для любого формального степенного ряда b(x) = их суперпозиция b a также является формальным степенным рядом.

2. Для любых формальных степенных рядов a₁(x), a₂(x), b(x) выполняются равенства

(a₁+a₂) b = a₁ b+a₂ b;

b (a₁+a₂) = b a₁+ b a₂;

(a₁a₂) b = (a₁ b)(a₂ b).

Обратимые формальные степенные ряды.

Теорема 3. Критерий обратимости ряда

Формальный степенной ряд a(x) = (a^e(x) = ) обратим тогда и только тогда, когда а₀  0.

§ 2. Дифференцирование и интегрирование формальных степенных рядов

( ) = ; ( ) = ;

= ; = .

Некоторые простейшие производящие функции

№ п/п	Последовательность a(n)	Производящая функция a(x)	Экспоненциальная производящая функция ae(x)
1.	a(n) = 1		ex
2.	a(n) = n+1		(1+x)ex
3.	a(n) =		x2ex
4.	a(n) = n2		x(x+1)ex
5.	a(n) = n, R		ex
6.	a(n) =	ex	–
7.	a(n) =	ex	–
8.	a(n) = , R	(1+x)	–

Связь между операциями над числовыми последовательностями и соответствующими производящими функциями

1. Линейные операции

Если c(n) = a(n)+b(n), , R, то

c(x) = a(x)+b(x), c^e(x) = a^e(x)+b^e(x) (1)

2. Сдвиг начала

Если b(n) = то

b(x) = a(x)x^k, b^e(x) = (2)

Если b(n) = a(n+k), то

b(x) = , b^e(x) = (3)

3. Изменение масштаба

Если b(n) = na(n), то

b(x) = x a(x), b^e(x) = x a^e(x) (4)

4. Подобие

Если b(n) = ⁿa(n), R, то

b(x) = а(х), b^e(x) = а^е(х) (5)

5. Свёртка

Если c(n) = то

c(x) = a(x)b(x), c^e(x) = a^e(x)b^e(x) (6)

Основной принцип теории производящих функций

Если имеется равенство со степенными рядами, которое выполняется, если степенные ряды рассматриваются как функции (то есть считая ряды сходящимися в некоторой окрестности нуля), то это равенство продолжает оставаться верным, если его рассматривать как соотношение между формальными степенными рядами, лишь бы операции, участвующие в формулах, имели смысл.