§ 4. Плоские (планарные) графы
1. Любой подграф плоского графа является плоским графом.
2. Граф планарный все его связные компоненты планарные.
Понятие простой замкнутой линии.
Теорема Жордана
Всякая простая замкнутая линия С делит плоскость на две части так, что любые две точки одной части можно соединить простой кривой, не пересекающей С, а любая простая кривая, соединяющая две точки из различных частей, имеет общие точки с С.
Определим отношение на множестве точек плоскости следующим образом:
А В А =В или существует простая кривая, соединяющая А и В, не имеющая общих точек с рёбрами графа.
Это отношение является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности называются гранями графа.
Граничные точки множества. Границы граней графа. Внешняя и внутренние грани.
Для графов: граница любой грани графа содержит 3 рёбер.
Теорема 1. Теорема Эйлера
Для плоского связного графа имеет место равенство
n – m +r = 2,
где n, m, r – число вершин, рёбер и граней соответственно.
Следствие 1. r = m – n +2.
Следствие 2.
1. Любой плоский граф имеет укладку на сфере.
2. Формула Эйлера справедлива для любой укладки связного графа на сфере.
Следствие 3. Формула Эйлера справедлива для любого выпуклого многогранника.
Следствие 4. Если G = V, E – связный плоский граф с n вершинами и m рёбрами, то
m 3n – 6.
Следствие 5. В любом плоском графе (в частности, в любом выпуклом многограннике) существует вершина, степень которой 5.
Следствие 6. Среди граней выпуклого многогранника имеется грань, содержащая менее 6 рёбер.
Теорема
2.
Если в связном плоском графе с n
вершинами и m
рёбрами, отличном от дерева, нет циклов
длины < k
(где k
3), то m
(n–2).
Cледствие. Графы К5 и К3,3 не являются планарными.
Операции подразделения ребра и слияния двух рёбер графа.
(Комбинаторно) гомеоморфные графы.
Теорема 3. Графы (комбинаторно) гомеоморфны тогда и только тогда, когда (геометрически) гомеоморфны геометрические представления этих графов.
Теорема 4. Теорема Понтрягина-Куратовского
Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, (комбинаторно) гомеоморфного К5 или К3,3.
§ 4. Обходы графов
Эйлеровы графы.
Задача о кёнигсбергских мостах. Эйлеровы графы.
Теорема. Критерий эйлеровости графа
Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда все его вершины имеют чётные степени.
Лемма. Если степень каждой вершины чётная, то на графе существует хотя бы один цикл.
: ММИ по количеству рёбер: “Ожерелье с подвесками”.
Гамильтоновы графы.
Теорема 1. Теорема Дирака
Если в графе G число вершин равно n, n 3 и для любой вершины v графа G выполняется неравенство deg v n/2, то G – гамильтонов граф.
Теорема 2. Теорема Оре
Если для любой пары u и v несмежных вершин графа G порядка n 3 выполняется неравенство deg u+deg v n, то G – гамильтонов граф.
Гамильтоновость Bn. Алгоритм Грея.