3. Усеченный нормальный закон распределения

В случае, когда случайная величина изменяется в диапазоне 0 ≤ t ≤∞, применяется усеченное нормальное распределение. При этом функция плотности вероятности безотказной работы определяется, как:

_{2 2}

f(t) = С / (σ₀· π)·е^{-(t – mо) / (2 σо )} , 0 ≤ t ≤ + ∞.

Усеченное нормальное распределение также является двухпараметрическим и зависит от математического ожидания m₀ и среднего квадратического отклонения σ₀ времени безотказной работы элемента. Величина m₀ соответствует максимальному значению функции f(t) и называется модой.

Коэффициент С определяется из выражения:

С= 1 / (0,5 – Ф₀(m₀ /σ₀)).

Между величинами m, σ и m₀ , σ₀ существуют связи, вида:

_____________

m = m₀ + k·σ₀; σ = σ₀·√(1+k·m_о/σ_о–k²) ,

_{2 2}

где k = (с / π)·е^{-( mо) / (2 σо )}.

4. Логарифмический нормальный закон распределения

Логарифмически нормальный закон распределения используется для описания случайных величин, представляющих собой произведение достаточно большого числа случайных величин.

Логарифмически нормальное распределение является двухпараметрическим и зависит от двух параметров μ и s.

Функция плотности вероятности безотказной работы определяется, как:

_{2 2}

f(t) = 1/ (st· π)·е^{-(lnt – μ ) / (2 s )}.

Между величинами m, σ и μ, s существуют связи, вида:

_{2 2 2}

m = е^{0,5(2 μ + s )}; σ = (е^{(2μ + s )} ·(е^s – 1))^0,5.

5. Закон распределения вейбулла

Распределение Вейбулла является двухпараметрическим с параметром формы α и параметром масштаба β.

Функция плотности вероятности безотказной работы определяется, как:

_α

f(t) = α·t^{α - 1}· е^-(t / ^β) / β^α.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение определяются из выражений:

m = βГ(1 + 1/ α); σ = β(Г(1 + 2/ α) – Г²(1 + 1/ α))^0,5,

где Г = - гамма функция.

Распределение Вейбулла является универсальным, поскольку при определенных значениях параметра α оно превращается в другие распределения. При α = 1 распределение превращается в экспоненциальное; при α < 1функции плотности и интенсивности отказав убывающие; при α >1функция интенсивности отказав возрастающая; при α = 2 функция интенсивности отказав линейная; при α = 3,3 распределение близко к нормальному распределению.

6. Модели изменения надежности

Модели изменения надежности чаще всего представляют собой математическую или графическую зависимость между обобщенным показателем надежности (вероятность безотказной работы, вероятность отказа, интенсивность отказов) и наработкой (календарным сроком). Примеры вероятностной модели изменения надежности представлены на рисунке 3.

Рисунок 3. Вероятностная модель изменения надежности объекта при его эксплуатации

В модели учитываются как внезапные, так и постепенные отказы. В изображенном варианте принято, что внезапные отказы (кривая Р_в(t)) имеют экспоненциальное распределение, а постепенные отказы (кривая Р_п(t)) имеют нормальное распределение.

На практике имеет место эксплуатация конкретных объектов в определенных условиях. Поэтому для них можно определить типичные характеры изменения характеристик надежности во времени. С этой целью удобно рассматривать лямбда-характеристики объектов.

Лямбда-характеристикой называется зависимость интенсивности отказов от времени работы объекта. Типичные примеры таких характеристик представлены на рисунке 4.

Рисунок 4. Примеры типичных лямбда-характеристик объектов

Такие характеристики используются как модели изменения надежности в процессе эксплуатации или хранения объекта. Эти модели позволяют не только составлять программы технического обслуживания объектов но и своевременного их корректировать.

Исходя из характера протекания функции λ(t), выделяют ситуации а) … е), отмеченные на рисунке 4. На этом же рисунке для каждого случая указана распространенность случая применительно к объектам ЭСЖТ в процентах. Из рисунка видно, что во всех лямбда-характеристиках за исключением случаев в) и г) имеется выраженный участок наработки, в пределах которого величина λ(t) минимальна и, кроме того, постоянна. Этот участок принято называть периодом нормальной эксплуатации. Обычно именно в пределах периода нормальной эксплуатации назначается технический ресурс объектов ЭСЖТ.

Кроме того, для некоторых типов лямбда-характеристик а), д), е) наблюдается «всплеск» значений λ(t) в начале и (или) в конце наработки t. Это объясняется повышенным числом отказов из-за не приработанности деталей на новых объектах и высоким износом деталей на старых объектах. Участок приработки и участок старения стараются исключить из пределов назначенного и (или) межремонтного ресурса объекта.

Сборные, комплексные изделия ЭСЖТ имеют классический «корытообразный» тип лямбда-характеристики - вариант е) рисунок 4.

Если модели относятся к группе однотипных объектов СЭЖТ, то они называются парковыми моделями. Модели, относящиеся к конкретному объекту, называются индивидуальными моделями. Парковые модели изменения надежности используются, преимущественно, для управления надежностью в условиях стратегии технической эксплуатации и ремонта (СТЭР) «по ресурсу». Индивидуальные модели изменения надежности используются, преимущественно, для управления надежностью в условиях СТЭР «по уровню надежности». Модели возникновения отказа используются, преимущественно, для управления надежностью в условиях СТЭР «по техническому состоянию».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выводы по материалу занятия.

2. Ответы на вопросы.

3. Задание на самостоятельную работу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: Учебник для вузов ж/д транспорта/ А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. – М.: УМК МПС России, 2000.