Лекция №3 «законы распределения времени до отказа элементов системы электроснабжения железнодорожного транспорта»

ВРЕМЯ – 2 часа.

ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ:

1. Познакомится наиболее часто применяемыми законами распределения времени до отказа объектов СЭЖТ. Рассмотреть модели изменения надежности.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ:

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ – 5 мин.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПЕРЕДЕЛЕНИЯ – 20 мин.

2. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПЕРЕДЕЛЕНИЯ – 15 мин.

3. УСЕЧЕННЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ – 10 мин.

4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ – 10 мин.

5. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА – 10 мин.

6. МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ – 15 мин

ЗАКЛЮЧЕНИЕ – 5 мин.

1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для практических расчетов показателей надежности контактной сети и ее элементов используются различные законы распределения времени до отказа. Выбор того или иного закона осуществляется исходя из физической сущности наблюдаемых явлений. Рассмотрим наиболее часто применяемые законы [1].

Экспоненциальное или показательное распределение времени до отказа характерно для работы многих объектов контактной сети на этапе нормальной работы, т.е. с момента окончания приработки до момента проявления постепенных отказов, вызванных старением.

Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим – имеет один параметр, при помощи которого можно описать изменение всех остальных интересующих нас величин. Этим параметром является интенсивность отказов λ. Для экспоненциального закона справедливо выражение λ = const, что означает постоянство величины интенсивности отказов на всем интервале рассматриваемого времени. Другие критерии надежности определяются при помощи выражений:

Р(t) = е ^{- λ·t}.

Q(t) = 1 - е ^{- λ·t}.

f(t) = λ·е ^{- λ·t}.

T₁ = 1/λ.

Λ(t) = λ·t.

t_γ = -(1/ λ)·(ln γ/100).

Пример: Время безотказной работы питающего зажима контактной сети подчинено экспоненциальному закону с параметром распределения λ = 0,000005 час^-1. Определить показатели надежности питающего зажима при его работе в течении 8760 часов (1 года).

P(t) = Р(t) = е ^{- λ·t} = 0,9571.

Q(t) = 1 - е ^{- λ·t} = 0,0429.

f(t) = λ·е ^{- λ·t} = 0,00000479 час^-1.

T₁ = 1/λ = 200000 час.

Λ(t) = λ·t = 0,0438

Для γ = 5 t_γ = -200000· ln 0,05 = 599146 час.

Для случая экспоненциального закона вероятность безотказной работы с ростом времени наработки убывает по экспоненте (рисунок 1).

Рисунок 1. Характер изменения вероятности безотказной работы P(t) и интенсивности отказов λ(t) при экспоненциальном законе распределения времени до отказа

В ряде случаев необходимо вычислять математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).

Для экспоненциального закона распределения эти величины определяются, как:

М(Х) = 1/λ; D(X) = 1/λ²; σ(X) = 1/λ.

2. Нормальный закон распределения

Нормальное распределение времени до отказа или распределение Гаусса является наиболее общим законом распределения. Согласно теории больших чисел любое распределение всегда подчиняется нормальному закону в том случае, когда на объект оказывают влияние многие примерно однозначные факторы. Таким образом, нормальное распределение охватывает весь жизненный цикл объекта, а не только его отдельные этапы. Для рассмотренного выше экспоненциального закона распределения характерным являлся этап нормальной работы.

Нормальный закон распределения является двухпараметрическим – имеет два параметра, при помощи которых можно описать изменение всех остальных интересующих нас величин. Этими параметрами являются математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение σ времени безотказной работы элемента.

Математическая запись функции плотности вероятности безотказной работы при нормальном распределении имеет вид:

_{2 2}

f(t) = 1 / (σ· π)·е^{-(t – m) / (2 σ )} , - ∞ ≤ t ≤ + ∞.

Этому выражению соответствует график плотности вероятности безотказной работы, представленный в виде y = f(t) на рисунке 2.

Для данного распределения вероятность безотказной работы определяется, как:

_{2 2}

P(t) = ^{-( t – m) / (2 σ )}·dt = 0,5 – Ф₀((t – m)/σ),

где Ф₀ – функция Лапласа, значение которой определяется по таблицам.

Рисунок 2. Характер изменения плотности вероятности безотказной работы f(t) и интенсивности отказов λ(t) при нормальном законе распределения времени до отказа