Корреляционный анализ в управлении качеством

В практике управления качеством часто решаются задачи оценки степени взаимосвязи между количественными показателями. Наиболее простой вариант – это оценка корреляции между двумя показателями. В этом случае вначале строят диаграмму разброса и по ее виду делают вывод о наличии корреляционной связи и ее форме.

Если диаграмма указывает на наличие линейной связи – прямой или обратной, – то для ее оценки можно использовать парный коэффициент корреляции:

,

где ,   – средние значения показателей х и у;  – среднее значение их произведений; ,   – их среднеквадратичные отклонения.

Коэффициент может иметь значения от –1 до 1. Положительное значение указывает на прямую связь, отрицательное – на обратную. Абсолютное значение определяет градации тесноты связи: от 0 до 0,3 – практически отсутствует; от 0,3 до 0,5 – слабая; от 0,5 до 0,7 – умеренная; от 0,7 до 1 – сильная. Равенство коэффициента единице означает, что связь между показателями не корреляционная, а функциональная, т.е. все точки корреляционного поля лежат строго на одной прямой линии.

При нелинейной связи коэффициент корреляции дает заниженную оценку ее тесноты. В этом случае следует использовать другой показатель – корреляционное отношение:

,

где – дисперсия теоретических значений показателя у, рассчитываемых по уравнению регрессии; – дисперсия фактических значений у, полученных в результате наблюдения.

При нелинейной связи ее направление может меняться (например, при параболической форме), поэтому корреляционное отношение никак не характеризует направление связи и согласно никогда не бывает отрицательным. Значения этого показателя находятся в интервале от 0 до 1 и интерпретируются так же, как и абсолютные значения парного коэффициента корреляции.

Заметим, что корреляционное отношение можно использовать для оценки тесноты любой корреляционной связи – линейной или нелинейной, с одним факторным показателем или несколькими. Однако, прежде чем воспользоваться расчетной формулой корреляционного отношения, необходимо найти уравнение регрессии, которое дает наиболее точное описание исследуемой зависимости. Вид этого уравнения определяется, исходя из формы корреляционного поля, а его параметры рассчитываются специальными методами, чаще всего – методом наименьших квадратов. Содержание этой процедуры подробно рассматривается в рамках учебных дисциплин «Статистика» и «Эконометрика». Например, если речь идет об однофакторной линейной регрессии, то искомое уравнение имеет вид

.

Для определения параметров и методом наименьших квадратов необходимо решить задачу минимизации:

.

Решение этой задачи сводится к решению системы уравнений

.

Чем ближе форма зависимости к линейной, тем меньше расхождение между корреляционным отношением и абсолютным значением парного коэффициента корреляции.

Если факторных показателей несколько, то построить корреляционное поле и определить по нему вид уравнения нельзя. В этом случае перебирают различные виды уравнений, начиная с самого простого, и останавливаются на том уравнении, которое с необходимой точностью описывает результаты наблюдения.

Для оценки точности уравнения можно использовать показатель ошибки аппроксимации, который рассчитывается по формуле:

.

Ошибка аппроксимации на уровне 5-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения к исходным данным.

Выражение, стоящее под корнем в формуле корреляционного отношения, называется индексом детерминации:

.

Этот индекс показывает, какая часть вариации результирующего показателя объясняется изменением факторов, включенных в уравнение регрессии.

Значение индекса детерминации может быть использовано для оценки практической приемлемости уравнения регрессии как эконометрической модели. Модель не отвергается, если уравнение регрессии объясняет более половины вариации результирующего показателя, т.к. когда индекс детерминации превышает 0,5. Если же величина индекса составляет не менее 0,75, то модель считается приемлемой для практического использования, поскольку объясняет как минимум три четверти этой вариации.