2. Дискретные случайные процессы

2.1. Примеры дискретных случайных процессов

Исключительно важную роль в задачах анализа и синтеза автоматизированных систем управления играют дискретные случайные процессы.

Дело в том, что в большинстве случаев процесс функционирования АСУ и ее элементов удобно представлять как последовательность выполнения некоторого набора действий (операций по подготовке данных и вводу, выполнение программ, передача данных и т.д.). Эти процессы рассматриваются во времени и одной из основных задач анализа и синтеза АСУ является исследование их временных характеристик, таких, как интервалы времени простоя устройств, времени выполнения программ, изменение производительности вычислительных систем и т. п. Для реальных АСУ типично наличие элементов случайности при инициировании запросов пользователей, в состоянии компонентов комплекс технических средств АСУ, в длительности выполнения программ, связанных с поиском и сортировкой, и т. д. Все эти обстоятельства вынуждают рассматривать процесс функционирования комплекса технических средств АСУ как случайный.

Пример 1. Простейшей моделью вычислительной системы пакетной обработки является модель [ 4 ].

Прочитанные перфокарты с заданиями через буфер ввода оперативной памяти записываются на магнитный диск, где ожидают очереди на выполнение. Выполнение задания (точнее – результаты выполнения заданий) выводятся на магнитный диск и затем через буфер вывода – на печатающее устройство.

В данной системе возможно возникновение очередей: в устройстве ввода с перфокарт, входных заданий на магнитном диске, выходных заданий на магнитном диске.

Предположим, что число заданий, поступающих в течение n – го периода, является случайной величиной, функция распределения которой не зависит от номера периода и имеет вид

(2.1.)

Предположим, что случайные величины независимы. Состояние системы в n – й момент времени определяется как число заданий, ждущих обслуживания к началу n – го периода. Если система находится в состоянии ???, то по прошествии одного периода она перейдет в состояние

если:

при условии, что за период будет выполнено ровно одно задание.

Очевидно, что если в среднем число заданий, поступающих во вводную очередь на МД, будет превышать число заданий, выводимых из ОП, очередь будет неограниченно возрастать. Очевидно также, что состояние вычислительной системы характеризуются числом и вероятностью

Пример 2. Этот пример связан с задачами управления запасами и снабжением, решаемых в АСУП.

Рассмотрим систему, в которую поступает некоторый товар или некоторое сырье, с целью постоянного удовлетворения спроса. Предположим, что пополнение запаса осуществляется в моменты времени t₁, t₂, ….., а суммарный спрос на товар в интервале времени представляет собой случайную величину с распределением

к=0, 1, 2, …,

одинаковым для всех интервалов, причем и

Уровень запаса фиксируется в начале каждого периода. Стратегия пополнения запаса такова: если имеющееся количество товара не превышает некоторого критического уровня s*, то производится немедленное пополнение запаса до уровня s > s*. Если же имеющееся количество товара больше s*, то пополнение не производится. Пусть x _n обозначает уровень запаса непосредственно перед моментом t _n. Пространство состояний процесса {x _n } складывается из возможных значений уровня запаса { x _n , x _n+1, x _n+2, …}.

Согласно описанному правилу уровня запаса двух последовательных периодов связаны соотношениями:

если:

где – суммарный спрос за n – й период. Если предположить, что случайные величины независимы, то уровни запаса образуют марковский процесс с дискретными состояниями.