1.3. Основные типы случайных функций и случайных процессов
Рассмотрим
некоторые типы случайных функций,
которые представляют особый интерес
для решения задач анализа и синтеза
автоматизированных систем управления.
Отличительной особенностью рассмотренных
случайных функций является то, что для
всех них построение совместного
распределения
возможно достаточно простым путем.
Уточним
прежде всего вид множества X,
T.
В автоматизированных системах управления
наиболее часто приходится рассматривать
случай, когда аргумент t
является временем, а Х- осью действительных
чисел. Такие случайные функции называются
случайными, или вероятностными,
процессами. Если Т={..-2,-1,0,1,2…}, или
Т={0,1,2,…}, то случайный процесс называется
случайным процессом с дискретным
временем. Если
,
или
,
или
,
то процесс называется случайным процессом
с непрерывным временем, или просто
случайным процессом.
1.3.1. Стационарные процессы
Определение 1.5.
Случайный
процесс
называется стационарным, если совместное
распределение случайных величин
совпадает с распределением случайных
величин
для всех
,
таких, что
и
.
Если равны только первые и вторые моменты распределения, то процесс называется стационарным в широком смысле слова, или слабостационарным процессом.
Случайный процесс с ограниченной дисперсией называется случайным процессом второго порядка.
1.3.2. Нормальные процессы
Случайный процесс называется нормальным или гауссовым, если совместное распределение случайных величин является нормальным для каждого n и любых , i=1,2,…,R. Нормальные процессы с дискретными аргументами t полностью определяются:
средними значениями
и корреляциями
.
Если
вести вектор
и матрицу К
,
и
допустить, что К
- невырожденная
матрица, что совместное распределение
можно описать плотностью вероятности
,
где z - n-мерный вектор;
det - детерминант матрицы К;
- обратная матрица [2].
Каждое совместное распределение такого случайного процесса полностью определяется, таким образом, вектором средних значений и матрицей коэффициентов корреляции К.
1.3.3. Эргодические случайные процессы
Оператор усреднения, введенный в п. п. 1.2, определен на множестве реализаций случайных функций. В практических задачах часто встречается ситуация, когда анализ должен быть проведен по одной реализации. Особенно характерными в этом отношении являются случайные процессы, определенные на бесконечной оси времени. Важнейшим вопросом, который встает в этом случае, это вопрос – насколько соответствуют результаты анализа, полученные по одной реализации, результатам, которые можно получить по всему ансамблю. Оказывается, есть такие случайные процессы, для которых это правило выполняется. Такие процессы называются эргодическими и играют важнейшую роль в анализе стохастических систем автоматического и автоматизированного управления.
Введем определение.
Определение 1.6.
Стационарный
случайный процесс
называется эргодическим случайным
процессом, если для любой функции g(x)
от случайной величины x(t)
соотношение
(1.7)
выполняется для всех выборочных реализаций, за возможным исключением множества реализаций нулевой вероятности [2].
Последнее добавление в определении эргодического свойства нужно понимать в том смысле, что могут существовать исключительные реализации, для которых средние по времени, найденные по таким реализациям, не могут дать типичных для всего ансамбля результатов. Однако, если вероятность случайного выбора такой исключительной реализации равна нулю, то существование указанных реализаций практически можно не принимать во внимание. Наиболее часто эргодическое свойство случайного процесса используется для определения моментов распределений.
Для эргодических случайных процессов наряду с формулами (1.3) – (1.5) справедливы формулы соответствующих моментов, полученных по одной реализации:
Математического ожидания случайного процесса
;
(1.8)
дисперсии случайного процесса
;
(1.9)
корреляционной функции
(1.10)
В этих соответствиях прямая черта сверху означает операцию усреднения по времени. Явное определение этой операции для каждого из рассмотренных случаев приводится слева от помещенного выражения. В каждом их соотношений при выводе использовано то обстоятельство, что предел интеграла
можно записать в виде
Последний член этого выражения в пределе стремится к нулю и поэтому может быть отброшен.
Соотношения (1.8)-(1.10) удобны для вычислений, так как при условиях, когда эргодическая гипотеза может быть обоснованно принята, они позволяют для оценивания соответствующих характеристик использовать одну выборочную реализацию [2].