1.2. Моменты конечномерных распределений случайных функций

Пусть - некоторый набор значений аргумента . Этому набору соответствует система случайных величин .

Пусть при каждом функция распределения дифференцируема, т. е. существуют соответствующие плотности вероятности . В данном случае исчерпывающей характеристикой этой системы является совместная плотность вероятности , где для простоты обозначено . Очевидно, что если набор точек исчерпывает (в случае дискретного ) множество , ансамбль случайных функций полностью описывается совместной плотностью вероятности . Значительно более сложно получить исчерпывающее представление случайной функции, если множество содержит бесконечное число элементов. В этом случае любой конечный набор точек является лишь некоторым подмножеством .

Определение 1.2.

Семейство всех совместных распределений для n=1,2,… и всех возможных наборов значений называется семейством конечномерных распределений случайного процесса.

Семейство конечномерных распределений является одним из основных понятий теории случайных функций и в значительной степени определяет многие существенные их свойства.

К сожалению, имеются значительные практические трудности в реальном использовании этих семейств для конкретных случайных функций. Существует два общепринятых способа преодоления этих трудностей. Суть первого способа – рассмотрение только тех процессов, в которых любая плотность вероятности n-го порядка имеет определенную структуру может быть получена на основе плотностей вероятностей низшего порядка.

Второй способ заключается в преднамеренном ограничении допустимых операций над случайными функциями, которые могут быть изучены без фактически полного представления (задания) случайной функции. Для таких операций достаточно лишь частичное задание случайной функции. В данном случае вместо многомерных законов распределений ограничиваются рассмотрением соответствующих числовых параметров этих законов.

В качестве числовых параметров конечномерных распределений можно выбирать различные величины, однако наиболее удобными являются начальные и центральные моменты различных порядков. Напомним на примере двумерного случайного вектора с плотностью вероятности , что смешанным начальным моментом порядка называется математическое ожидание произведения , т. е.