1.Общие свойства случайных фнкций и случайных процесов

1. Определение случайных функций

При изучении случайных величин удобным приемом, облегчающим анализ, является введение некоторого абстрактного множества с элементами . Само множество называется пространством элементарных событий, а некоторые его подмножества - событиями. Каждому элементарному событию соответствует выборочное значение случайной величины x . Саму случайную величину нужно рассматривать теперь как некоторую функцию, отображающую точки в [1].

Каждому подмножеству из ставится в соответствии некоторое число , называемое вероятностью события и определяются правила (аксиомы) действий с событиями и вероятностями. Такой подход к изучению случайных величин обладает большой общностью и позволяет рассматривать различные типы случайных явлений с единых позиций

При анализе случайных функций, развивая подобный подход, можно считать, что итогом опыта является выборочная функция, определенная на множестве значений некоторого аргумента (параметра) t. Такая математическая модель случайной функции может быть проиллюстрирована, как это показано на рис. 1. на рисунке видно, что каждая точка в выборочном пространстве отображается в функцию аргумента t. Очевидно, что случайную функцию при данной трактовке можно рассматривать как функцию двух аргументов (t, ).

Рис. 1. Выборочное пространство

Преимущество такой трактовки случайных функции - рассматривая различные виды множеств , , , можно получать случайные функции различной природы. В наиболее распространенном случае параметр t интерпретируется как время, а множество составляет отрезок вещественной оси или всю вещественную ось. Если при этом является осью действительных чисел, случайная функция (t, ) называется случайным процессом с непрерывным временем.

В качестве определения случайной функции можно взять следующее:

Определение 1.1.

Случайной функцией (t, ) называется функция двух аргументов

t со значениями из множества .

Из определения случайной функции следует, что для фиксированного t

функция (t, ) есть случайная величина с выборочными значениями , а для фиксированного - это функция аргумента t , которая называется реализацией (выборочной функцией, траекторией). Набор функций , связанных с точками в пространства , называется ансамблем.

Так как при каждом фиксированном значение случайной функции (t, ) является обычной случайной величиной, то полной характеристикой этого значения является закон распределения . Этот закон распределения зависит, разумеется, от значений параметра t и не зависит от . Он характеризует ансамбль при фиксированном t. Знание распределения вероятностей является достаточным лишь для самых простейших задач, анализа случайных функций и не позволяет изучать ансамбль функций при любых значениях аргумента t. Для решения задач, в которых необходимо рассматривать значения при разных t, необходимо рассматривать совместный закон распределения случайных величин .