
- •Вероятностные процессы
- •Введение
- •1.Общие свойства случайных фнкций и случайных процесов
- •Определение случайных функций
- •1.2. Моменты конечномерных распределений случайных функций
- •1.3. Основные типы случайных функций и случайных процессов
- •1.3.1. Стационарные процессы
- •1.3.2. Нормальные процессы
- •1.3.3. Эргодические случайные процессы
- •1.3.4. Сингулярные и линейно-сингулярные процессы
- •1.3.5. Процессы с независимыми приращениями
- •1.3.6. Марковские процессы
- •2. Дискретные случайные процессы
- •2.1. Примеры дискретных случайных процессов
- •2.2. Цепи Маркова
- •2.2.2. Матрица вероятностей перехода за n шагов.
- •Классификация состояний марковских цепей
- •Определение 2.8.
- •2.4. Эргодические свойства непериодических цепей. Стационарное распределение.
- •3.Пуассоновские процессы
- •3.1. Примеры пуассоновских процессов в асу.
- •Данные об отказах электронной вычислительной машины
- •3.2. Дифференциальные уравнения для переходных вероятностей
- •3.3. Процесс чистого размножения
- •3.4. Пуассоновские процессы в системах массового обслуживания
- •4.2. Сложение случайных процессов.
- •4.3 Дифференцируемость выборочных функций случайного процесса
- •4.4. Интегрирование случайных процессов
- •5. Представление случайных процессов и случайных функций
- •5.1. Методы описания детерминированных функций
- •5.2. Представление случайных процессов на конечном интервале времени
- •5.3. Интегральные уравнения с корреляционной функцией в качестве ядра
- •5.4. Разложение случайных функций в ряд Карунена-Лоэва
- •5.4.1. Представление винеовского процесса в виде разложения Карунена-Лоэва.
- •5.4.2. Представление процесса типа белого шума
- •5.5. Канонические представления случайных функций
- •5.5.1. Основные определения
- •5.5.2. Общие формулы для координатных функций
- •5.5.3. Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек
- •5.5.4. Рекуррентные формулы построения канонического разложения случайной функции.
5.4. Разложение случайных функций в ряд Карунена-Лоэва
Рассмотрим теперь вопрос о сходимости ряда:
(5.21)
где { }- собственные функции интегрального уравнения (5.16):
=
(5.22)
где
-
случайный процесс с корреляционной
функцией
.
Пусть в разложении (5.21) -конечно, тогда равенство (5.21) является приближенными почти для любой выборочной функции
(5.23)
где
-
случайный процесс.
Вычисляя
И так как (свойство 7)
то
(5.25)
или
(5.26)
но
и ограничена, а
Отсюда следует, что
Определение 5.1.
Разложение
случайного процесса в ряд (5.21) по
собственным функциям интегрального
уравнения (5.16) называют разложением
Карунена-Лоэва. Оно обеспечивает
представление случайного процесса
посредством некоррелированных случайных
величин
Полезность разложения Карунена-Лоэва
объясняется следующими двумя
обстоятельствами:
во многих задачах теоретического анализа случайных функций разложение используется в качестве математического инструмента. В большинстве таких задач собственные функции и собственные значения не входят в окончательный результат, что позволяет не находить
в явном виде;
в задачах, связанных с практическим применением, для получения удовлетворительного по точности результата достаточно знания одной или нескольких собственных функций и собственных чисел.
5.4.1. Представление винеовского процесса в виде разложения Карунена-Лоэва.
Пусть
-
винеровский процесс, определенный при
Как отмечалось в п. п. 1.3, ему присущи
следующие свойства:
Приращения
случайного процесса являются независимыми,
т. е. если
то
и
статистически независимы.
Интегральное уравнение (5.16) имеет вид
(5.27)
Преобразуем интегральное уравнение в соответствующее дифференциальное. Дифференцируя обе части по , получим
так как
то
Дифференцируя
повторно, получим
Или
при
(5.28)
Существует
три возможные области изменения
:
<0;
=0;
>0.
Можно убедиться непосредственно, что
области
<0,
=0
не дают решений, удовлетворяющих
интегральному уравнению (5.27) (это же
следует из свойств интегральных уравнений
с невырожденным, симметричным, положительно
определенным ядром [6]. Более того,
в силу (5.20)).
Общее решение дифференциального уравнения (5.28) в этом случае [6]:
(5.29)
где
(5.30)
Подставляя
(5.29) и (5.30) в (5.28), получим, что
и решениями интегрального уравнения
будут собственные числа и собственные
функции:
(5.31)
5.4.2. Представление процесса типа белого шума
Используя полученный выше результат, представим винеровский процесс в виде ряда
(5.32)
причем
(5.33)
Для
фиксированного
продифференцируем
Получим
(5.34)
Обозначим
тогда в силу ортонормированности функции
ряд(5.33)
можно рассматривать как разложение
выборочной функции процесса
в
ряд по ортогональным функциям.
Так
как
определено выражением (5.33), то легко
видеть, что
(5.35)
То
есть для случайного процесса
,
полученного дифференцированием
винеровского процесса, все собственные
числа интегрального уравнения равны.
Очевидно, что если в (5.34) положить
,
то ряд не будет сходиться. Кроме того,
при
и, следовательно, случайный процесс
(5.34) должен обладать бесконечной энергией.
Получим
корреляционную функцию процесса
,
дифференцируя
(5.36)
Корреляционная
функция случайного процесса
является
-
функцией.
Запишем
интегральное уравнение (5.16) для случайного
процесса
(5.37)
это
уравнение в сил свойств
-
функции выполняется для любых
,
причем
Следовательно, любой ряд ортонормированных
функций пригоден для разложения этого
процесса.
Итак, процесс типа белого шума имеет следующие свойства:
Свойство 1. Корреляционная функция случайного процесса типа белого шума является - функцией.
Свойство
2.
Случайный процесс типа белого шума
можно разложить на интервале
в любой полный ряд ортонормированных
функций.
Свойство 3. Коэффициенты разложения белого шума в ряд по отонормированным функциям некоррелированы и имеют одинаковые дисперсии.
Свойство 4. Если коэффициенты разложения случайного процесса в ряд некоррелированы и имеют равные дисперсии, то процесс называют белым шумом.