5.2. Представление случайных процессов на конечном интервале времени

Пусть , - случайный процесс, такой, что . Предположим, что =0, и пусть - полный ортонормированный набор функций, и что для почти любой выборочной функции существует предел суммы

(5.11)

где = (5.12)

Обычный предельный переход в (5.11) использовать нельзя, так как он требует, чтобы каждая выборочная функция могла быть представлена таким образом.

Отмечая, что правая часть (5.11) при разных представляет собой случайные величины (5.13)

Коэффициенты ряда (5.13) представляют собой случайные величины со следующими характеристиками:

(5.14)

При каждом конечном ряд (5.13), разумеется, лишь приблизительно описывает выборочную функцию. Система случайных коэффициентов характеризуется вектором средних значений А и ковариационной матрицей с элементами

Использование представления (5.13) становится особенно удобным, если функции таковы, что ковариационная матрица имеет диагональный вид, т. е.

(5.15)

при при .

5.3. Интегральные уравнения с корреляционной функцией в качестве ядра

Для того, чтобы равенство (5.15) было справедливым, необходимо выполнение условия

(5.16)

в этом случае нетрудно видеть, что

где =

Уравнение (5.16) называется интегральным уравнением функции, превращающие (5.16) в тождество, называются собственными функциями, а - собственными значениями интегрального уравнения. Функция называется ядром интегрального уравнения [6].

В п. п. 4.1 было показано, что симметрична и неотрицательно определена. Интегральные уравнения с симметричными, положительно определенными ядрами обладают целым рядом интересных свойств, основные из которых мы перечислим, отсылая за доказательствами к литературе [6].

Свойство 1. Существуют, по крайней мере, одна интегрируемая в квадрате функция и одно действительное число , которые удовлетворяют условию (5.16).

Свойство 2. Из выражения (5.16) следует, что если - решение уравнения, то и есть также решение. Поэтому всегда можно выбирать так, что

(5.17)

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, являются ортогональными, т. е.

(5.18)

Свойство 4. Существует не более чем счетное множество собственных значений, и все они ограничены.

Свойство 5. Неотрицательно определенное, симметричное ядро интегрального уравнения (5.16) может быть разложено в ряд

(5.19)

где сходимость, равномерная для (это свойство называется теоремой Мерсера и играет важную роль в задачах представления случайных процессов).

Свойство 6. Собственные функции интегрального уравнения с симметричным неотрицательно определенным ядром образуют полный ортонормированный ряд.

Свойство 7.

(5.20)

Из последнего свойства в предположении, что при , следует также,

Свойство 8. Собственные числа действительны и с ростом не возрастают.

Отмеченные свойства интегральных уравнений гарантируют, что для любого случайного процесса второго порядка всегда можно построить ряд функций { }, обеспечивающий некоррелированные коэффициенты разложения.