4.4. Интегрирование случайных процессов

Введем понятие интеграла от случайного процесса. Пусть - случайный процесс второго порядка. Рассмотрим интервал Пусть - разбиение интервала .

Рассмотрим сумму

(4.19)

Определение 4.4.

Случайный процесс интегрируем, если последовательность сходится в среднеквадратическом, когда а стремится к нулю.

Определение 4.5.

Интегралом от случайного процесса по называется предел в среднеквадратическом интегральной суммы (4.19).

Интеграл от случайной функции легко находить, пользуясь следующими теоремами:

Теорема 4.3. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания, т. е.

(4.20)

Доказательство. По определению

Математические ожидания от правой и левой частей равны:

Изменяя порядок следования операций усреднения и предельного перехода, получим:

Учитывая, что в пределе равняется интегралу от окончательно получим

.

Полученному результату можно придать более удобную для дальнейшего анализа форму. Для этого предположим, что верхний предел интегрирования в выражении (4.20) – переменная величина. В этом случае результат интегрирования случайного процесса является в свою очередь некоторым случайным процессом . Для этого процесса определено математическое ожидание

Представляет интерес поведение корреляционной функции случайного процесса . Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.4. Корреляционная функция интеграла от случайного процесса равна двойному интегралу от ее корреляционной функции, т. е.

(4.21)

где (4.22)

Доказательство. Имеем по определению:

(4.23)

Подставляя (4.22) в (4.23), получим:

Обозначая, получим:

Теорема 4.5. Взаимная корреляционная функция случайных процессов и равна интегралу от корреляционной функции случайного процесса , т. е.

(4.24)

Для доказательства этого равенства подставим значение в (4.24):

Меняя операции усреднения и интегрирования местами, получим

Рассмотренные выше операции дифференцирования и интегрирования являются примерами линейных операций над случайными процессами.

Более общей операцией интегрирования случайной функции является интеграл , где -неслучайная функция. Составляя соответствующую интегральную сумму

и устремляя при условии, что стремится к нулю для всех можно получить:

(4.25)

5. Представление случайных процессов и случайных функций

5.1. Методы описания детерминированных функций

Простейший способ представить детерминированный процесс заключается просто в задании всех или некоторого ряда значений сигнала . Другим распространенным способом представления детерминированного процесса является определение его в виде ряда или интеграла Фурье. В ряде случаев детерминированный процесс удобно представить в виде разложения в ряд по некоторой ортонормированной (или линейно-независимой) системе функций, отличной от тригонометрической. И, наконец, иногда детерминированные процессы удобно характеризовать в виде аналитического решения системы линейных дифференциальных уравнений.

Аналогичные способы представлений могут быть развиты для случайных процессов. Выбор того или иного способа определяется в первую очередь целью, которую преследует представление сигнала , и конкретными видами множеств

Рассмотрим функцию x(t) которая определена на интервале /0,Т/ (рис. 6).

Рис. 6. Выборочная реализация случайного процесса

Предполагаем, что интервал имеет конечное значение. В этом случае, если -некоторая полная система ортогональных на отрезке (0,Т) функций, x(t)можно представить в виде

(5.1)

где (5.2)

-коэффициент Фурье разложения x(t) по системе функций [6].

Поскольку практически можно использовать только конечное число коэффициентов, то желательно знать, чему равняется ошибка приближения, возникающая за счет учета конечного числа членов в сумме (5.1).

Ошибка представления x(t) при учете функций равна

(5.3)

Её удобно характеризовать интегралом

(5.4)

Известно, что если система функций полная [6], то

для любого конечного силу ортонормированности функций

(5.5)

где

Коэффициенты характеризуют вклад компоненты в разложение (5.1). Равенство (5.5) называется равенством Парсеваля [6].

В силу (5.5) любую функцию, удовлетворяющую условию , можно сколь угодно точно приблизить конечным числом функций. А это означает, что непрерывную функцию времени можно сколь угодно точно описать с помощью конечного набора чисел .

Частным случаем системы является широко распространенная система тригонометрических функций. Ряд (5.1) в этом случае называется рядом Фурье и имеет вид

, (5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

Теорема Парсеваля в этом случае принимает вид

(5.10)

Коэффициенты характеризуют вклад гармоники частоты в среднюю мощность сигнала x(t)и называются интенсивностью сигнала на этой частоте, а график величин в зависимости от называется линейчатым спектром Фурье.