16. Переходные процессы в электрических цепях

Переход от одного режима работы цепи к другому (включение и выключение отдельных участков, подключение отдельных элементов) происходит не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени. Процессы, происходящие в цепи в этот период времени, называются переходными процессами. Включение и выключение элементов и участков цепи называется коммутацией.

Переходные процессы связаны с перераспределением энергий между реактивными элементами (конденсатором и катушкой индуктивности) и с необратимыми преобразованиями энергии в резистивных элементах.

Изменения энергий в электрическом поле конденсатора ( ) и в магнитном поле катушки ( ) не могут происходить мгновенно. Продолжительность переходного процесса ограничена и в большинстве случаев составляет секунды или доли секунды.

Во время переходного процесса токи и напряжения могут быть в несколько раз больше, чем в установившемся режиме, и привести к аварии. Подбирая значения параметров отдельных элементов и применяя специальные схемы их включения, можно ускорить или замедлить время переходного процесса, а также ограничить скачки тока и напряжения во время переходного процесса.

Первый закон коммутации – ток в индуктивном элементе не может измениться скачком:

i_L (t_- ) = i_L (t₊),

где t – момент времени, в который произошла коммутация в цепи.

Второй закон коммутации – напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком:

u_c (t_- ) = u_c (t₊).

Однако следует иметь в виду, что токи и напряжения на резистивных элементах, а также ток в емкостном элементе i_c = и напряжение на индуктивном элементе могут изменяться скачком.

Переходные процессы в электрических цепях описываются системой дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа или Ома для мгновенных значений напряжений и токов u, i (классический метод расчета).

Для простых цепей эту систему уравнений можно свести к обыкновенному линейному неоднородному уравнению, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения, в качестве которого выбирают установившийся после коммутации режим, и общего решения однородного уравнения, которое называют свободной составляющей (при отсутствии внешнего источника энергии).

Токи и напряжения, которые получаются в результате частного решения для установившегося режима (определяются параметрами источника энергии и элементов электрической цепи), называют установившимися i_уст , u_уст .

Токи и напряжения, получаемые в результате общего решения однородного дифференциального уравнения (правая часть равна нулю), определяются лишь параметрами элементов цепи и называются свободными i_св, u_св, они всегда затухают за счет потерь в цепи.

Переходные токи i_пер и напряжения u_пер равны сумме установившихся и свободных составляющих:

i_{пер =} i_{уст +} i_св

u_пер = u_{уст +} u_св.

После нахождения общего решения дифференциального уравнения следует найти постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Рассмотрим пример анализа переходного процесса при зарядке конденсатора через резистор (рис.16.1).

Рис.16.1. Схема цепи зарядки конденсатора через резистор

После замыкания выключателя В в цепи возникает ток и конденсатор заряжается до напряжения источника U.

Уравнение электрического состояния цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа имеет вид

Используя известное соотношение , можно записать

Переходное напряжение на конденсаторе U_{c пер} складывается из суммы установившейся u_{c уст} и свободной u_{c св} составляющих напряжения.

Установившееся напряжение u_{c уст} при зарядке конденсатора следует найти при , когда напряжение на конденсаторе перестает изменяться ( ) и тогда

Выражение для свободной составляющей напряжения u_{c св} определяется решением однородного дифференциального уравнения

или

Решение этого уравнения имеет вид

Значение параметра p находят из решения характеристического уравнения

(корень характеристического уравнения).

Величина характеризует длительность протекания переходного процесса, ее называют постоянной времени. Чем больше , тем дольше продолжается переходный процесс. Переходный процесс можно считать завершенным через , напряжение на конденсаторе становится практически равным установившемуся u_{c уст} = U.

Выражение для u_{c св} можно записать в виде .

Переходное напряжение на конденсаторе можно записать в виде

,

где А - постоянная интегрирования.

Постоянную интегрирования А определяют из начальных условий при t=0 с использованием законов коммутации. В момент, предшествующий коммутации, конденсатор не был заряжен и напряжение на нем было равно нулю . Из второго закона коммутации следует, что в первый момент после замыкания выключателя при t=0 напряжение на конденсаторе не изменится и будет равно 0, то есть .

При t=0 . На основании сказанного можно записать:

0=U+A или .

Следовательно, окончательное выражение для переходного напряжения на конденсаторе будет иметь вид

Ток в цепи во время переходного процесса

На основании выражений для переходного напряжения на конденсаторе и тока в цепи строим графики переходных процессов, представленные на рис.16.2.

Рис.16.2. Графики изменения напряжения и тока при зарядке конденсатора

Подкасательная численно равна постоянной времени и дает представление о длительности протекания переходного процесса.

Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком, поскольку она не содержит элемента, обладающего индуктивностью.

Если активное сопротивление цепи мало, то ток в момент включения источника напряжения может быть очень большим, превышающим номинальное значение.

Кроме классического метода расчета переходных процессов используется операторный метод, который в данном учебном пособии не рассматривается. При этом методе расчета вместо системы дифференциальных уравнений используется система алгебраических уравнений. В основе метода лежит преобразование Лапласа, и решение из области функций действительного переменного переносится в область комплексного переменного и операции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями умножения и деления на оператор Р (оператор Лапласа).