3.2 Построение экономико-математической модели межотраслевого баланса
Даны коэффициенты прямых затрат аij и конечный продукт Yi для трехотраслевой экономической системы:
Требуется определить:
Коэффициенты полных затрат.
Вектор валового выпуска.
Межотраслевые поставки продукции.
Проверить продуктивность матрицы А.
Проверить схему межотраслевого баланса.
Таблица с исходными данными имеет вид.
Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат А. Для дальнейшего рассмотрения модели МОБ сделаем два предположения.
Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А постоянна.
Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, т.е. для выпуска j- й отраслью любого объема продукции Xj необходимо затратить продукцию отрасли I в количестве aijXj, т.е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции.
Коэффициенты полных затрат определяются по формуле В=(Е-А)-1, где Е – единичная матрица.
Вначале вычислим А-1, используя встроенную математическую функцию МОБР.
Для вычисления единичной матрицы Е = А*А-1 используем встроенную математическую функцию МУМНОЖ.
В диапазон ячеек B10:D12 введена формула
=МУМНОЖ(B18:D20;G2:G4),
по которой вычисляется значение Е. В диапазон ячеек B14:D16 введена формула, как показано на рисунке, для вычисления значения Е-А.
Далее, используя встроенную математическую функцию МОБР, вычислим значения коэффициентов полных затрат. Их значения приведены на следующем рисунке.
Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.
Для вычисления вектора валового выпуска в диапазон ячеек В22:В24 введем соответственно следующие формулы:
=МУМНОЖ(B2:B4;B22),
=МУМНОЖ(C2:C4;B23),
=МУМНОЖ(D2:D4;B24).
Получим значения Х, изображенные на следующем рисунке.
Межотраслевые поставки продукции вычислим по следующим формулам, которые соответственно введем в диапазоны B26:B28, C26:C28 и D26:D28
=МУМНОЖ(B2:B4;B22)
=МУМНОЖ(C2:C4;B23)
=МУМНОЖ(D2:D4;B24).
Межотраслевые поставки имеют следующие значения, как показано на рисунке.
Общий вид расчетного листа представлен на следующем рисунке.
Заполняем схему межотраслевого баланса.
Выполнив команду /Сервис/Параметры, и активизируя опцию формулы, получим таблицу схемы межотраслевого баланса в режиме индикации формул.
Таблица межотраслевого баланса в режиме индикации формул показана на следующем рисунке.
3.3 Решение задач линейного программирования
Используя Поиск Решения, решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
I |
2 |
2 |
3 |
1 |
20 |
II |
2 |
3 |
1 |
1 |
10 |
III |
1 |
3 |
2 |
2 |
50 |
Цена изделия |
20 |
17 |
8 |
10 |
|
Целевая функция имеет вид f(x)=20х1+17х2+8х3+10х4.
Ограничения по типу сырья:
2х1 + 2х2 + 3х3 + х4 ≤ 20
2х1 + 3х2 + х3 + х4 ≤ 10
х1 + 3х2 + 2х3 + 2х4 ≤ 50.
Таблица с исходными данными заполнена так, как показано на рисунке.
В ячейку F4 введена формула для вычисления значения целевой функции.
Заполним аргументы встроенной математической функции СУММПРОИЗВ, как показано на рисунке.
В ячейке F4 пока выведется 0, а в строке формул отобразится текст содержимого ячейки.
Заполним диапазон ячеек F8:F10 соответствующими формулами, используя операцию копирования содержимого ячейки F4,
=СУММПРОИЗВ($B$3:$E$3;B8:E8)
=СУММПРОИЗВ($B$3:$E$3;B9:E9)
=СУММПРОИЗВ($B$3:$E$3;B10:E10).
В ячейках F8, F9 и F10 результат так же равен пока нулю.
Выполнив команду /Сервис/Надстройки, активизируем надстройку Поиск решения.
Команда /Сервис/Поиск решения выведет на экран диалоговое окно Поиск решения, которое необходимо заполнить.
В качестве целевой ячейки установим ячейку F4, диапазон изменяющихся ячеек зададим как В3:Е3, используя кнопку Добавить, зададим ограничения.
Кнопка Параметры диалогового окна Поиск решения выведет на экран следующее диалоговое окно Параметры поиска решения, в котором активизируем опции Линейная модель и Неотрицательные значения.
На следующем рисунке показано заполненное диалоговое окно Поиск решения.
После нажатия кнопки Выполнить, начнется процесс поиска решения и на экран выведется запрос, в каком виде сохранять результаты поиска.
Выберем Тип отчета – Результаты.
Отчет по результатам представлен на следующем рисунке.
Полученное решение означает, что максимальный доход в 100 единиц можно получить при выпуске 5 единиц изделия первого вида. При этом сырье II типа будет использовано полностью, а из 20 единиц сырья I типа будет использовано только 10 единиц, а из 50 единиц сырья II типа только 5.