Степенная функция Спиллмана вычисляется в виде:

(9)

где Y - общий выпуск;

Х - полные затраты;

М - максимальный об­щий выпуск, который можно получить при использовании переменного ресурса;

А - общий прирост выпуска, которого можно достичь увеличением Х;

(М – А) - уровень выпуска, определяемый постоянными ресурсами при нулевых затратах переменного ресурса;

R - постоянная величина, определяющая степень последовательных приращений общего продукта. Поэтому R также определяет отношение величины дополнительного продукта при уровне затрат к дополнительному продукту при уровне затрат

Из уравнения (9) выводится уравнение дополнительных продуктов:

(10)

Дополнительный продукт, полученный при i-й затрате ресурса, имеет следующую связь с дополнительным продуктом, полученным при предыдущем уровне затрат:

(11)

В уравнении (11) нижние индексы членов производной указывают на уровни затрат ресурса Х и дополнительных продуктов, связанных с каждым уровнем. Отсюда, если R = 0,8, а дополнительный продукт для равен 10, то дополнительный продукт для будет: 0,8*10 = 8.

Кривая общего количе­ства продукта (уравнение 9) асимптотически приближается к М. Кривая дополнительного продукта асимптотична оси x. Её ординаты никогда не принимают отрицательного значения, однако послед­нее может иметь место в случае излишнего приме­нения удобрений. В связи с этим функция не соответ­ствует выборочным дан­ным, полученным на базе экспериментов или обсле­дований, в том случае, когда величины затрат достаточно велики, чтобы вызвать сокращение величины общего количества продукта.

Квадратные функции

Простая квадратная функция (12), где знак минус перед c означает сокращение дополнительного продукта, не накладывает такого строгого ограничения на производственную функцию, как это имеет место с функ­цией Кобба - Дугласа или Спиллмана:

Y=a+bX-cX (12)

Квадратная функция допускает падающие и отрицательные, но не увеличивающиеся и падающие дополнительные продукты. Макси­мальное общее количество продукта соответствует той точке, где величина затрат Х равна 0,5 bc . Эластичность здесь не является постоянной, как в степенной функции, а снижается вместе с величиной затрат, о чем свидетельствует следующее уравнение эластичности:

(13)

Экономическое содержание производственной функции

При проведении исследований производственной функции, прежде всего, следует определить ее экономическое содержание. Рассмотрение вопросов, связанных со сбором данных и статистической их оценкой, допустимо только в том случае, когда это связано с определенными гипотезами об их экономическом со­держании. Последние должны быть так трансформированы, чтобы сбор данных и статистические вычисления были выполнимы. В самом деле, оба аспекта изучения производственной функции — определение эконо­мического и статистического ее содержания и сбор данных — не неза­висимы. Эти процессы взаимно влияют друг на друга. Только из-за удоб­ства изложения мы были вынуждены произвольно разделить их. То, что вопросы экономической спецификации рассматриваются лишь теперь, может показаться ошибочным. Однако такой подход оправдан. Для неподготовленного читателя понимание проблем определения экономического содержания, возможно, окажется более трудным до тех пор, пока он не поймет сопутствующих проблем, возникающих при ста­тистической оценке функции и сборе данных наблюдения.

Проблема определения экономического содержания эконометрических моделей весьма широка. При исследовании производственной функции возникают следующие вопросы. Какую конкретно производственную функцию желательно вычислить? Независима ли эта функция от других экономически значимых функций производственного процесса? Или же она входит в систему экономических взаимосвязей? Если верно последнее предположение, образуют ли относительные временные взаимосвязи причинную цепь или же всю систему совместных взаимосвязей? Какие переменные относятся к производственной функции? Следует ли укрупнить эти переменные, и как можно выполнить это укрупнение? Какова алгебраическая форма производственной функции — непрерывная или ди­скретная, линейная или нелинейная? Каков экономический смысл функции? Имеется ли какая-либо информация об экономической и физи­ческой основе производственного процесса, которая помогла бы ответить на вышеперечисленные вопросы? Таковы ключевые вопросы, относя­щиеся к экономической спецификации производственной функции. До тех пор пока они не решены правильно, оценка производственной функции будет смещенной. Она будет иметь тенденцию к искажению истинной структуры производственного процесса в аналитическом смысле.