5.5. Связность

Граф называется связным, если любые две его различные вершины соединяет цепь. На множестве вершин графа определим отношение , если или если в графе существует цепь, соединяющая a и b. Отношение является отношением эквивалентности. Пусть – классы эквивалентности множества вершин графа , определяемые этим отношением. Подграфы ,…, графа G называются компонентами связности этого графа, а их число называется степенью связности графа. Если граф имеет несколько компонентов связности, то вершины можно перенумеровать так, что его матрица инцидентности клеточно диагональна.

ТЕОРЕМА. Ранг матрицы инцидентности графа, имеющего компонент связности и n вершин, равен n – .

Доказательство. Достаточно доказать, что ранг матрицы М связного графа c n вершинами равен n – 1. Так как в каждой строке матрицы по две единицы, то сумма всех столбцов по модулю 2 нулевая  n. Если один столбец матрицы удалить, то в некоторых строках останется по одной единице. Если предположить, что r(M)  n – 1, то в столбцах должно быть чётное число единиц, а это противоречит только что сказанному. ■

В связном графе ребро называется перешейком, если после его удаления из графа свойство его связности исчезает. Связный граф без циклов называется деревом.

Эйлерова характеристика

Эйлеровой характеристикой связного плоского графа G называется число ,

где n – число вершин графа G;

h – число его рёбер;

– число областей, на которые G делит плоскость, включая и бесконечную область. Например, для графа, изображённого на рис. 5.6, имеем

П усть даны два графа G и пусть – части, на которые дуги графа делят дугу графа G, определены аналогично. Граф G с рёбрами называется наложением графов G и .

Лемма 1. Пусть связный плоский граф получен из связного плоского графа G наложением ребра с несовпадающими концами. Тогда .

Доказательство. Очевидно, что пересечение графа G и ребра не пусто, иначе не мог бы быть связным. Пусть a, b – концы отрезка , а – точки пересечения и G.

Случай 1. Ни одна из точек не совпадает ни с одной из вершин графа G. Тогда число вершин в графе равно . Если на граф G наложить отрезок , то число рёбер увеличится на 2, а число областей не изменится (рис. 6).

При последовательном наложении отрезков число рёбер увеличивается с каждым шагом на 2, а число областей на 1 (рис. 7). При добавлении же отрезка число рёбер увеличивается на 1, а число областей не изменяется (рис. 8), т.е. имеем

x₁

x_к

x_k+1

x_t-1

x_t

а

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Способ 2. Пусть некоторые из точек являются вершинами графа G. И пусть число таких точек k . Тогда

Случай 3. Пусть точка а принадлежит графу G. Добавим к отрезку кусок так, чтобы он пересекался с G только в точке а (рис. 9). При этом эйлерова характеристика не изменилась и задача свелась к уже разобранному случаю. Остальные случаи очевидны.

Л емма 2. Пусть связный граф получен наложением графа на граф G. Тогда .

Доказательство. Проведём индукцию по числу рёбер h графа Лемма 1 даёт базис индукции. Предположим, что утверждение верно для графа с числом рёбер h. Рассмотрим теперь граф с h + 1 ребром.

Случай 1. В графе найдутся два ребра, которые пересекаются с рёбрами графа G. Удаляя ребро графа не являющееся перешейком, получим граф с h рёбрами такой, что наложение графа на граф G связно. По индукционному предположению . Добавляя удалённое ребро по лемме 1, получим .

Случай 2. Граф пересекается с графом G по одному ребру . Если граф не дерево, то в нём есть цикл. Удаляя ребро этого цикла, не совпадающее с и аналогично случаю 1, получим . Если же – дерево, то в нем имеются по крайней мере два концевых ребра (тупика). Удаляя не совпадающий с тупик, с помощью тех же рассуждений получим, что эйлеровы характеристики графов G и совпадают.

ТЕОРЕМА. Для любого плоского связного графа G имеем .

Доказательство. Рассмотрим два плоских непересекающихся связных графа G₁ и G₂. Пусть – дуга, одна вершина которой принадлежит а другая G₂. Пусть – наложение на По лемме 2 , поскольку граф связан. Кроме того, наложение графа на граф G₂ также связно, а поэтому . Аналогично получим . Из произвольности графов и получаем, что любые два плоских связных графа имеют одну и ту же эйлерову характеристику. Поэтому достаточно подсчитать её для простейшего плоского связного графа.

Замечание. Условие связности графа существенно для доказательства теоремы. Например, для несвязного графа имеем

Эйлеровы графы

З

С

адача о кенигсбергских мостах. Постановка и решение этой задачи Эйлером знаменует начало разработки теории графов. Расположение мостов через реку Прегель в г. Кенигсберге в его время приведено на рис. 10.

с

d

g

C

g

C

e

D

A

с

d

a

b

f

e

A

D

b

a

f

B

B

Рис. 10 Рис. 11

Требуется пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходную часть города. Можно построить граф задачи, в которой каждой части города соответствует вершина, а каждому мосту – ребро, инцидентное вершинам, относящимся к соединяемым им частям (рис. 11). Обходу мостов соответствует маршрут графа, который по условию должен быть простым циклом. Эйлеровой цепью графа называется маршрут, включающий все рёбра графа и через каждое ребро проходящей по одному разу. Замкнутая эйлерова цепь – эйлеров цикл. Эйлерову цепь и эйлеров цикл называют эйлеровыми графами.

ТЕОРЕМА. Граф имеет эйлеров цикл а) связен, б) все его вершины имеют положительные чётные степени.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Докажем вначале, что в графе , все вершины которого имеют чётную степень, для любого ребра x найдётся цикл, содержащий x. Пусть a₀, a₁ – концы ребра x. Так как степень вершины a₁ чётна, то найдётся другое ребро x₂, отличное от x, инцидентное a₁. Пусть a₂ – вторая концевая точка ребра x₂. Маршрут простой. Продолжая, таким образом получим последовательность простых маршрутов увеличивающейся длины. В силу конечности графа через некоторое время продлить маршрут будет невозможно. Это значит, что маршрут заканчивается в вершине a₀.

Рассмотрим в графе G замкнутый простой маршрут , содержащий наибольшее число рёбер. Покажем, что в графе нет вершин, не лежащих на этом маршруте. Предположим, что некоторая вершина b не лежит на нём. Так как граф связан, то существуют цепи между b и каждой из всех вершин максимального маршрута. Рассмотрим самую короткую цепь Вершины не могут совпадать с вершинами , в противном случае можно было бы выбрать цепь длины  m. Следовательно, ребро y_m не входит в выбранный путь.

Из множества рёбер графа удалим и полученное множество рёбер обозначим через В графе все вершины имеют чётную степень, т.е. в нём существует простой замкнутый маршрут, включающий ребро y_m. Пусть это будет маршрут .

Если в исходный маршрут вместо a_i подставить этот маршрут, то получим маршрут длины  . Это противоречит тому, что – максимальная длина простого замкнутого маршрута в графе. Итак, простой замкнутый маршрут максимальной длины проходит через все вершины графа.

Предположим, что он содержит не все рёбра графа. Тогда в графе найдётся ребро y, инцидентное одной из вершин a_i и не входящее в максимальный маршрут. Повторив рассуждения, проведённые для y_m, получим противоречие.

Следствие. Граф имеет открытую эйлерову цепь а) связен, б) содержит ровно две вершины нечётной степени.

Необходимость очевидна.

Пусть a, b – две вершины нечётной степени. Соединим их ещё одним ребром x. После этого все вершины графа приобретут чётную степень, т.е. в нём существует замкнутая эйлерова цепь. Осталось удалить из неё ребро x.

Гамильтоновой цепью графа называется цепь, которая проходит через все вершины графа и через каждую проходит по одному разу. Гамильтоновым циклом называется замкнутая гамильтонова цепь.

ТЕОРЕМА. Если число вершин графа n > 3 и степени всех вершин больше, чем n/2, то граф гамильтонов.

Упражнения для самостоятельного решения.

1. Изоморфны ли графы G₁ и G₂:

(1) G₁: 14 16 23 25 26 45; G₂: 16 15 26 24 35 34.

(2) G₁: 12 23 24 15 34 45; G₂: 12 23 51 25 41 34.

2. Является ли планарным граф

G₁: 12 13 14 25 26 27 35 37 36 46 47 45 56 67;

G₂: 12 23 34 48 81 14 82 45 56 67 87 46;

G₃: 12 13 15 18 23 24 34 38 45 46 47 56 57 58 67 78?