Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка из БашГУ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

1.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

26. Найдите количество чисел, не делящихся на 3, 5, 7 в первой тысяче натурального ряда.

27. При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% читают журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% - журналы А и В, 20% - журналы В и С, 40% - журналы А и С, 10% все три журнала. Сколько

а) не читает ни одного из журналов;

б) читает в точности 2;

в) читает не менее 2.

Математическая логика

Алгебра высказываний

Высказывание – предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. При этом оно не может быть одновременно истинным и ложным.

Отрицанием высказывания называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда ложно. Обозначается оно через или . Читается «не ». Операция отрицания унарная. Операции, которые будут рассматриваться далее, бинарные.

Конъюнкцией двух высказываний и называется такое третье составное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда и истинны одновременно. Для конъюнкции применяются обозначения (логическое умножение). Запись читается « и ».

Дизъюнкцией двух высказываний и называется такое третье составное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда одно из высказываний и истинно или оба высказывания истинны одновременно. Обозначение: (логическая сумма). Читается « или ».

Импликацией двух высказываний и называется такое третье составное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а ложно. Обозначение Читается «из следует ». Здесь называют посылкой, а – следствием.

Эквиваленцией двух высказываний и называется такое третье составное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывания и одновременно истинны или ложны. Обозначение Читается « тогда и только тогда, когда », «для необходимо и достаточно ».

Действия над высказываниями можно описать с помощью таблиц истинности. В них буква «И» соответствует значению «истина», а буква «Л» значению «ложь».


Л	И	Л	Л	Л	Л	И	И
И	Л	Л	И	Л	И	И	Л
		И	Л	Л	И	Л	Л
		И	И	И	И	И	И

Заметим, что двуместная операция дизъюнкции соответствует союзу «или». Но в обычной речи союз «или» употребляется, по крайней мере, в двух различных смыслах: неальтернативное неисключающее «или» и альтернативное исключающее «или». В нашем случае дизъюнкция соответствует высказыванию первого типа.

Конъюнкция и y обозначается также y, min и читается « и y». Дизъюнкция читается « или y». Функция называется суммой по модулю 2 или альтернативной дизъюнкцией и читается “ плюс y по модулю 2”. Эквивалентность часто обозначается также  y, ~ y,  y. Импликация в некоторых книгах обозначается также y, и часто читается «x имплицирует y». Функция y называется штрихом Шеффера. Функция  у называется стрелкой Пирса, функцией Пирса. Все эти функции называют элементарными. Символы , &, , , , , ,  называют логическими связками.

Пример. Докажите, что формула тождественно истинна


0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1

Эквивалентные формулы

Формулы алгебры логики и называются эквивалентными, если на всяком наборе значений переменных (входящих хотя бы в одну из формул и ) значения функций и совпадают, т.е. если Приведем основные эквивалентности.

(законы коммутативности).
(законы дистрибутивности).
(законы двойственности де Моргана).
(правила склеивания).
(правила поглощения).
(правило обобщенного склеивания).
& = ,  = (законы идемпотентности).
 0 = , &1 = ,  1 = 1, = , ( ( 1)= , (свойства относительно констант).
(закон исключенного третьего).
& = 0 (закон противоречия).
(унипотентности).
(закон двойного отрицания).
(замена импликации).

(замена эквиваленции).

Для примера докажем свойство замены импликации: составим расчетную таблицу, в которую включаются все промежуточные вычисления.


0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

Столбцы значений для функций и совпали, т.е. функции равны. Аналогично доказываются другие эквивалентности. Некоторые из формул можно доказывать алгебраически с помощью уже доказанных свойств. Например, для доказательства эквивалентности воспользуемся тем, что , . Отсюда

Эквивалентные формулы используются при упрощении формул. Например, упростим . По правилу склеивания . К дизъюнкции применим тождественное преобразование , получим . Аналогично, .

Поэтому

Элементарная конъюнкция. Элементарная дизъюнкция

В силу ассоциативности конъюнкции в выражениях и скобки можно не писать, поэтому считаем запись имеющей смысл. Индуктивно получает смысл запись Аналогично, считаем имеющей смысл и запись  … (т.е. из двуместных операций получены с помощью свойства ассоциативности n-местные). Будем полагать, что

Выражение будем называть буквой, а &…& – конъюнкцией букв, … – дизъюнкцией букв.

ТЕОРЕМА. Конъюнкция букв тождественно ложна тогда и только тогда, когда в нее входит хотя бы одна переменная вместе со своим отрицанием.

Доказательство.  Пусть конъюнкция букв тождественно ложна, но такой переменной в ней нет. Придадим переменным, которые входят в эту конъюнкцию, значение 1, а тем переменным, которые входят в нее под знаком отрицания, 0. На этом наборе значений переменных конъюнкция примет значение 1, а это противоречит условию, т.е. наше предположение неверно.

 Пусть в конъюнкцию К входит переменная t вместе со своим отрицанием. Применив закон коммутативности конъюнкции, мы приведем ее к виду 

ТЕОРЕМА. Дизъюнкция букв тождественно истинна тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна переменная, которая входит в нее вместе со своим отрицанием.

Доказывается аналогично.

Конъюнкция букв называется элементарной, если все переменные, входящие в ее различные буквы, различны. Дизъюнкция букв называется элементарной, если все переменные, входящие в ее различные буквы, различны. Количество букв, входящих в элементарную конъюнкцию (ЭК) или элементарную дизъюнкцию (ЭД), называется рангом ЭК или ЭД соответственно. Число 1 считается ЭК ранга 0. Буква считается ЭК или ЭД ранга 1. Число 0 считается ЭД ранга 0. Любую конъюнкцию букв, не являющуюся тождественно ложной, можно привести к виду элементарной, а любую дизъюнкцию букв, не являющуюся тождественно истинной, можно привести к виду элементарной также. Для этого надо применить свойства коммутативности, идемпотентности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Дизъюнкция различных элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Количество ЭК, входящих в ДНФ, называется ее длиной. Сумма рангов ЭК называется сложностью ДНФ.

ТЕОРЕМА. Число всех различных ДНФ от n-переменных равно

Доказательство. В ЭК переменная может входить под знаком отрицания (ситуации присваиваем код 0), может входить сама (код 1); может не входить ни сама, ни под знаком отрицания (код 2).Таким образом, каждой ЭК от n переменных ставится во взаимооднозначное соответствие размещение с повторениями из трех элементов 0, 1, 2 по n местам. Таких размещений а поэтому и ЭК столько же. Любое подмножество ЭК из множества всех ЭК определяет ДНФ, а число всех подмножеств этого множества равно 

Если в ДНФ все ЭК имеют один и тот же ранг, равный числу переменных, от которых зависит ДНФ, то она называется совершенной (СДНФ).

ТЕОРЕМА о разложении булевой функции по одной переменной.

Доказательство. Проверяем, какие значения принимают функции, стоящие справа и слева, вначале на любом наборе значений переменных, начинающимся с нуля, а затем на наборе, начинающимся с единицы.

ТЕОРЕМА о разложении булевой функции по двум переменным.

Доказательство. Применить дважды предыдущую теорему. Можно доказать также, проверяя, какие значения принимают функции, стоящие справа и слева, вначале на любом наборе значений переменных, начинающимся с двух нулей , затем на наборе вида , затем на наборе вида , а затем на наборе вида .

ТЕОРЕМА о разложении булевой функции по переменным. Любую булеву функцию можно представить в виде

(1) где знак сокращенной дизъюнкции берется по всем двоичным наборам

Доказательство. Можно провести индукцию по s. А можно проверить равенство непосредственно на всех наборах значений переменных. Для этого заметим, что

, где
;


ТЕОРЕМА. Для любой функции, не являющейся тождественно ложной, существует и притом единственная СДНФ.

Доказательство. Из теоремы о разложении булевой функции по переменным при s = n следует

. (2)

Но равно 0 или 1, если нулю, то соответствующее слагаемое из дизъюнкции удаляется, а если 1, то слагаемое приобретает вид Отсюда (3). Следовательно, мы представили булеву функцию в виде СДНФ. Так как числа различных n-местных булевых функций и СДНФ совпадают, то представление булевой функции в виде СДНФ возможно лишь единственным образом.

Следствие. Любую булеву функцию, не являющуюся тождественно ложной, можно представить в виде суперпозиции &, , , причем отрицание относится только к переменным.

Формула (3) позволяет по таблице истинности булевой функции строить ее СДНФ.

Пример. Привести к СДНФ функцию f = (10001110).

x₁	x₂	x₃	f
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Алгоритм приведения булевой функции к ДНФ:

С помощью эквивалентностей ,

, , , освободиться от логических связок , , , , .

С помощью законов двойственности отнести знаки только к переменным (тесное отрицание).
С помощью закона дистрибутивности & относительно  перейти к дизъюнкции конъюнкций.
Воспользоваться законами идемпотентности & и .

Пример.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Конъюнкция различных элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Все определения и факты, приведенные для ДНФ и СДНФ, с соответствующими изменениями переносятся на КНФ и СКНФ. Таким образом, имеют место двойственные утверждения:

КНФ называется совершенной (СКНФ), если ранги всех ЭД, входящих в нее, равны между собой и равны числу переменных, над которыми берется форма.

ТЕОРЕМА. Для любой функции, не являющейся тождественно истинной, существует и притом единственная, эквивалентная ей СКНФ.

Доказательство. – СКНФ. Так как числа всех различных n-местных булевых функций и СКНФ от тех же переменных совпадают, то представление булевых функций в виде СКНФ возможно единственным образом.

Пример. Построить СКНФ для f = (10001110).

Принцип двойственности

Функцию называют двойственной функции . Например, , , ,

Ясно, что , т.е. функции и f двойственны друг другу.

ТЕОРЕМА. Если булева функция записана в виде суперпозиции , , , то двойственная ей получается заменой каждой дизъюнкции на конъюнкцию, а каждой конъюнкции на дизъюнкцию.

Доказательство проведем методом полной математической индукции по числу операций над переменными. Без ограничения общности можно считать, что отрицание относится только к переменным. База индукции имеется в силу того, что .

Гипотеза индукции. Пусть утверждение теоремы верно для функции, получающейся с помощью s операций , , .

Право перехода. Пусть дана функция , полученная с помощью операции , , . Если, например, последняя операция конъюнкция, т.е. то

По гипотезе индукции g^* и h^* можно получить заменой в g и h соответственно каждой & на  и наоборот, т.е. f^* может быть получена из f таким же образом. ■

Полином Жегалкина

Если в ЭК нет отрицаний переменных, то она называется монотонной элементарной конъюнкцией (Мон. ЭК). Например, 1, , y, y – все монотонные ЭК от переменных , y; или 1, х, y, z, y, z, yz, yz – все Мон. ЭК от переменных , y, z. Сумма по модулю 2 различных монотонных элементарных конъюнкций называется полиномом Жегалкина.

ТЕОРЕМА. Любую булеву функцию можно представить в виде полинома Жегалкина, причем, единственным образом с точностью до коммутативности & и .

Доказательство. Представим б.ф. в виде СДНФ или СКНФ. С помощью тождеств заменим все значки  и , т.е. б.ф. представим в виде суперпозиции &, , 0, 1 – в виде полинома Жегалкина. Так как число всех различных полиномов Жегалкина от равно , т.е. числу всех различных n-местных б.ф., то любую б.ф. представить в виде полинома Жегалкина можно лишь единственным способом. ■