Федеральное агентство по образованию

государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Башкирский государственный университет

Нефтекамский филиал

Дискретная математика

методические указания для студентов 3 курса экономико-математического факультета специальности “Прикладная математика и информатика”

Нефтекамск 2006

Печатается по решению кафедры МиПОВМ Нефтекамского филиала БашГУ (протокол от № 6 от )

Рассматриваются основные понятия дискретной математики. Методическое указание снабжено примерами и упражнениями, необходимыми для закрепления теоретического материала.

Предназначено для студентов высших учебных заведений специальностей, изучающих дискретную математику.

Составители: к.ф-м.н. Луценко В.И.

ассистент кафедры МиПОВМ Нусратуллин Э.М.

Содержание

Нефтекамск 2006 1

Теория множеств 5

Множество А называется собственным подмножеством множества , если , . В этом случае пишем Предполагаем также, что все встречающиеся множества являются подмножествами некоторого универсального множества U. 5

Декартово произведение 6

Отображения множеств 7

1. Построить биекцию из . 9

2. Установить взаимно однозначное соответствие между двумя отрезками. 9

3. Докажите, что 9

a) множество целых чисел счетно; 9

b) множество нечетных чисел четно; 9

КОМБИНАТОРИКА 9

Свойства бинома Ньютона: 10

При a = b = 1 из формулы Ньютона получим 10

10

26. Найдите количество чисел, не делящихся на 3, 5, 7 в первой тысяче натурального ряда. 13

27. При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% читают журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% - журналы А и В, 20% - журналы В и С, 40% - журналы А и С, 10% все три журнала. Сколько 13

а) не читает ни одного из журналов; 13

б) читает в точности 2; 13

в) читает не менее 2. 13

Математическая логика 13

Упражнения для самостоятельного решения. 23

Графы и сети 25

Примерный перечень вопросов на экзамен

Список литературы

Теория множеств

Понятие множества используется для описания совокупности предметов и объектов (по Г. Кантору – "многое, определяемое как единое"). При этом предполагается, что объекты данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность.

Отношение принадлежности  читается " принадлежит множеству ". Запись означает, что не является элементом множества

Отношение включения множеств  означает, что каждый элемент множества является элементом множества . В этом случае говорят, что – подмножество множества . Употребляется равносильная запись . Множества и называются равными, если состоят из одних и тех же элементов, т.е. ( = )  (  и  ).

Множество А называется собственным подмножеством множества , если  ,  . В этом случае пишем Предполагаем также, что все встречающиеся множества являются подмножествами некоторого универсального множества U.

Операции над множествами

Пересечением множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат и одновременно, т.e.

 ={x: x и x }.

Объединением множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат или или и одновременно, т.е.

 ={ или }.

Разностью множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат

\ = { : и }

Симметрической разностью множеств и называется множество

Δ = ( \ )( \ ).

Декартово произведение

Декартовым (прямым) произведением множеств ,..., _n называется множество всех упорядоченных наборов элементов из ,..., _n

...А_n= {<a₁ ... a_n>: a₁  A₁,..., a_n  A_n},

гдe <a₁...a_n>=<b₁...b_n>  a₁=b₁ ... a_n=b_n. Если =…= А_n = А, то  ... А_n называется декартовой степенью множества и обозначается .

Упражнения для самостоятельного решения.

1. Дать геометрическую интерпретацию множества А∩В\С, если

и ; и ; и .

2. Доказать, что:

а)	е)
б)	ж)
в)	з)
г)	и)
д)	к)

3. Упростить выражение:

а)
б)

Бинарные отношения

Бинарным отношением между элементами множеств и называется любое подмножество R множества . Если R , то имеем бинарное отношение на множестве А. Вместо <х,y>R часто пишут хRy.

Пример.

={2, 4}, ={2, 3, 5}, ={<2, 2>,<2, 3>,<2, 5>,<4, 2>,<4, 3>,<4, 5>}, R = {<2, 2 >, <2, 3>, <2, 5>}.

Бинарное отношение на множестве называется

1) рефлексивным, если хRх для любого х ;

2) симметричным, если хRy yRx;

3) антисимметричным, если хRy и yRx x = y;

4) транзитивным, если хRy и yRz хRz.

Упражнения для самостоятельного решения.

1. Пусть Х – множество прямых. Какими свойствами обладают бинарные отношения:

а) и х параллельна ,

б) и х перпендикулярна ?

2. Пусть Х – множество людей. Какими свойствами обладают бинарные отношения:

а) и х моложе ,

б) и х брат ,

в) и х живет в одном городе с ?

3) Какими свойствами обладают отношения:

а) и ,

б) и ,

в) и ?

Отображения множеств

Пусть X, Y- некоторые множества. Говорят, что задано отображение f: X Y, если каждому элементу x X по некоторому закону f поставлен в соответствии единственный элемент y=f(x) Y. Элемент Y называется образом элемента x . Для данного элемента y Y множество всех же x X., образом которых является y, называется прообразом элемента y. Прообраз обозначается через

f^-1(y).

Пусть f: X Y.

1) Отображение f называется инъективным (или инъекцией), если x₁, x₂ X, x₁ x₂ => f(x₁) f (x₂). По другому можно записать так f(x₁)=f(x₂)=> x₁=x₂.

2) Отображение f называется сюръективным (или сюръекцией), если y Y x X : f(x) y, или, по-другому, y Y,

f^{- -1}(y) 0.

3) Отображение одновременно и инъективное и сюръективное называется биективным (биекцией или взаимно однозначным соответствием).

П римеры:

Мощность множества

Множество называется эквивалентным множеству если между и можно установить взаимнооднозначное соответствие. В этом случае применяется обозначение ~ . Количество элементов в конечном множестве А называется мощностью этого множества.

Счетные множества

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. В этом случае говорят также, что А имеет счетную мощность или мощность а.

Несчетные множества

Говорят, что множество A имеет мощность континуума, если A - эквивалентно отрезку (0,1). Мощность континуума обозначается буквой с.

Упражнения для самостоятельного решения.