2.2. Среднее и действующее значения гармонических токов и

напряжений

Среднее значение периодической функции i(t) , u(t), за период Т определяется выражением:

Среднее значение не зависит от момента времени t₀.

Среднее значение за период гармонической функции ( а таковыми являются ток и напряжение (э.д.с.)) равно нулю.

Действующим значением периодической функции i(t) , u(t), называется среднее квадратическое значение этой функции за период Т:

.

По физическому смыслу действующее значение периодического тока за период – это такой постоянный ток, который, проходя черех неизменное сопротивление, выделяет то же количество тепла, что и данный ток.

Действующее значение I, U, E гармонической функции i(t) , u(t), в

раз меньше амплитуды

)^-1 , )^-1 , )^-1 .

Следовательно,

Пример 11. Ток i(t) = 5Sin(ωt + ). Определить среднее, действующее и амплитудное его значения.

Среднее значение I_СР = 0, так как i(t) – гармоническая функция. Амплитудное значение I_m = 5 А , а действующее )^-1 = 0,707·5 = =3,535 А.

2.3. Операции с комплексными числами

В математике и электротехнике находит достаточно широкое применение мнимая единица , лежащая в основе комплексных чисел.

В общем случае комплексные величины, за исключением тока и напряжения, обозначаются как символ и жирная черта под ним: А. Комплексные числа имеют пять форм представления.

Алгебраическая

А = а + jb; а = Rе [A]; b = Im[А] .

здесь а и b – соответственно действительная и мнимая составляющие числа А .

Показательная

А = А·е^jψ ,

где А = − модуль числа А, − аргумент числа А.

П олярная

Тригонометрическая

А = АCosψ + jАSinψ,

где АCosψ = а; АSinψ = b.

Геометрическая – число в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Два комплексных числа называют сопряженными, если их вещественные составляющие совпадают, а мнимые различаются только знаками, Сопряженное числу А комплексное число обозначается . Если А = а + jb, то = а – jb.

Сложение и вычитание комплексных чисел можно делать в алгебраической и геометрической формах, однако в расчетах – только в алгебраической:

А ₁ + А ₂ = (а₁ + jb₁) ± (а₂ + jb₂) = (а₁ ± а₂) + j(b₁ ± b₂)

Умножение и деление лучше делать в показательной форме

А₁·А₂ = А₁ · А₂· = А₁·А₂· ,

=

Пример 12. Дано А ₁ = 2 + j3; А ₂ = 5 – j10. Определить сумму и разность чисел А ₁ и А ₂.

А ₁ + А ₂ = 2 + j3 + (5 – j10) = 7 – j7;

А ₁ – А ₂ = 2 + j3 – (5 – j10) = – 3 + j13.

Пример 13. Дано А ₁ = 10·е^j30°; А ₂ = 20 е^–j60°. Определить произведение и частное чисел А ₁ и А ₂.

Ā₃ = А₁·А₂ = 10·е^j30° · 20 е^–j60° = 200·е^–j30°.

Ā₄ = А₁· = 10·е^j30º · (20 е^–j60°)^–1 = 0,5·е^j90º = 0,5j.

Очень часто в расчетах возникает необходимость перехода от показательной формы комплексного числа к алгебраической или наоборот. Предлагаются алгоритмы перехода.

Алгоритм перехода от показательной А·е^jψ формы к алгебраической а + jb.

1. Определяем Cosψ.

2. Определяем А·Cosψ = а (сброс).

3. Определяем Sin ψ.

4. Определяем А·Sin ψ = b.

Алгоритм перехода от алгебраической а + jb формы к показательной А·е^jψ.

1. Определяем – рассчитанный аргумент ψ.

2. Истинный аргумент ψ определяется по ψ_РАСЧ в зависимости от квадранта в соответствии со схемой (рис. 2.12):

Рис. 2.12

3. Определяем Sin ψ_РАСЧ .

4. Определяем .

Пример 14. Перевести А = 10· в алгебраическую форму.

А = 10· ; .

= 10·0,865 + j10·0,5 =8,65 + j5.

Перевести А =3 + j6 в показательную форму.

; ψ_РАСЧ = arctg 2 = 63°; А = 6,7;

А = 6,7е ^j63° .