8. Расчет линейных схем с источниками периодического негармонического сигнала

8.1. Представление функции в виде ряда Фурье

Сигнал а(t) называется периодическим негармоническим, если он не является синусоидой или косинусоидой и его значение повторяется через интервал времени, называемый периодом (рис. 8.1):

Рис. 8.1

Такой сигнал характеризуется амплитудой А_m, периодом t и основной частотой ω (её называют ещё угловой, и круговой), связанной с периодом t соотношением:

ω = 2π t^–1.

Из курса математики известно, что периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье, имеющий две формы записи.

Первая из них имеет вид:

где k – номер гармоники ряда;

А₀ – постоянная составляющая или нулевая гармоника ряда;

В_k – коэффициенты синусных составляющих;

А_k – коэффициенты косинусных составляющих.

Гармоникой называется синусная или косинусная составляющая частоты kω.

Коэффициенты определяются из соотношений:

Вторая форма записи ряда Фурье имеет вид:

где С_k – амплитуда k–ой гармоники;

ψ_k – начальная фаза k–ой гармоники.

Параметры С_k и ψ_k связаны с коэффициентами В_k и А_k соотношениями:

Частоту k–ой гармоники обозначают ω_k. Она связана с номером k соотношением:

ω_k = k·ω.

Период k–ой гармоники обозначают Т_k. Он связан с номером k обратной зависимостью:

Т_k.= k^–1·Т.

Например, сигнал а(t) имеет три гармоники:

.

Построим графики трех гармоник и суммарного сигнала в одних осях

( рис. 8.1).

Рис. 8.1

Суммарная периодическая функция (сплошная линия) имеет период, равный периоду 1-ой гармоники.

8.2. Расчет схем с источниками негармонического

периодического сигнала

Для многих негармонических функций составлены справочники для раз-

ложения их в ряд Фурье. В справочниках дается сам ряд и его коэффициенты А_k, В_k или С_k и ψ_k .

Если мы имеем дело с каким–либо специальным сигналом, то его коэффициенты можно получить машинным методом. Практически все языки программирования включают в себя преобразование Фурье в качестве стандартных программ.

В наших расчетах мы будем иметь дело с уже заданным рядом Фурье для периодического негармонического сигнала источника.

Если в схему включен источник э.д.с., сигнал которого представлен рядом Фурье:

то такому источнику соответствует эквивалентная схема из последовательно включенных э.д.с.(рис. 8.2):

Рис. 8.2

Здесь – нулевая гармоника ряда (номер гармоники будем указывать вверху в скобках) – постоянная составляющая, в эквивалент- ной схеме соответствует источнику постоянной э.д.с.;

– первая гармоника ряда;

– вторая гармоника ряда;

– k–ая гармоника ряда;

– n–ая гармоника ряда;

n – число гармоник, не считая нулевой, подлежащих учету.

На основании метода наложения в представленной эквивалентной схеме ток (или напряжение) можно рассчитать для каждой гармоники отдельно в частичных схемах. Для перехода к частичной схеме k–ой гармоники остальные источники заменяются их внутренними сопротивлениями, то есть коротко замкну-

тыми соединениями (рис. 8.3):

Рис. 8.3

Если в исходной схеме включен источник тока, сигнал которого представлен рядом Фурье вида:

то такому источнику соответствует схема из параллельно включенных источников тока.

На основании метода наложения в эквивалентной схеме искомый ток можно найти путем расчета n+1 частичных схем по каждой из гармоник отдельно.

Для определения полного негармонического тока (или напряжения) во временной области необходимо определить искомую функцию в каждой частичной схеме, а затем сложить их, например:

i(t) = i⁽⁰⁾ + i⁽¹⁾(t) + i⁽²⁾(t) + … + i⁽ⁿ⁾(t).

При проведении расчетов токов и напряжений в области комплексных чисел нельзя складывать токи (или напряжения) разных гармоник, так как условием перехода из временной области в частотную является равенство частот всех токов (или напряжений), то есть ω = const.

Поэтому отсутствует понятие комплексного тока или напряжения негармонической функции. Однако, каждую частичную схему для k–ой гармоники можно представить в комплексной форме.

Для перехода к комплексной схеме k–ой гармоники необходимо определить, как и раньше:

1) комплексное действующее или комплексное амплитудное значение э.д.с. k–ой гармоники:

или

;

2) комплексные сопротивления реактивных элементов L и С:

3) обозначить токи и напряжения комплексными амплитудными или комплексными действующими значениями , где k – номер гармоники, для которой составлена схема.

Каждая частичная схема в комплексной форме рассчитывается относительно тока или напряжения любым удобным способом.

Если в исходной схеме включены измерительные приборы (амперметр или вольтметр), то необходимо определить действующее значение периодического негармонического тока или напряжения.

На основании общего определения действующего значения периодического негармонического тока или напряжения можно записать:

или .

После подстановки негармонических функций тока или напряжения в виде ряда Фурье под интеграл и преобразований получим формулы:

где i , u – действующее значение тока или напряжения негармонического периодического сигнала;

I⁽⁰⁾, U⁽⁰⁾ – нулевая гармоника или постоянная составляющая исследуемого тока или напряжения;

I^(k), U^(k) – действующее значение k–ой гармоники исследуемого тока или напряжения;

– амплитудное значение k–ой гармоники исследуемого тока или напряжения.

Отметим, что для нулевой гармоники существует только действующее значение.

Итак, алгоритм расчета схемы с источником негармонического периодического сигнала сводится к следующему.

1. Представляем функцию сигнала источника в виде ряда Фурье (если он не задан).

2. Переходим к частичным схемам для каждой гармоники, входящей в ряд Фурье. Для гармоник больше нулевой переходим к комплексным схемам.

3. Рассчитываем каждую частичную схему относительно искомого тока или напряжения.

4. Если в схеме включены амперметры или вольтметры, то определяем действующее значение гармонических токов или напряжений по приведенным формулам.

5. Если в исходной схеме требуется определить ток или напряжение во временнόй области, то необходимо найти частичные токи или напряжения во временнόй области, а затем их сложить.

П ример 53. Для схемы (рис. 8.4) с источником негармонического сигнала:

e(t) = 10 + 10Sin100t + 8Sin(200t + ) В

определить показание вольтметра и построить временнýю диаграмму напряжения на вольтметре, если

R = 100 Ом, L = 1 Гн, С = 100 мкФ.

Согласно приведенному алгоритму, первый пункт выполнять не нужно, так как ряд Фурье для сигнала е(t) уже задан.

Переходим к частичным схемам. Их будет столько, сколько гармоник входит в ряд фурье сигнала е(t).

Нулевая гармоника k = 0 (рис. 8.5)

R

На постоянном токе индуктивность заменя-

ется коротко замкнутым соединением, а ем- кость – обрывом.

.

Первая гармоника k = 1 (рис. 8.6)

е⁽¹⁾(t) = 10Sin100t, следовательно

i ⁽¹⁾

ω = 100 рад·с^–1; ψ₁ = 0; = 10 В;

V

;

;

Рис. 8.6

;

–j(ωC)^–1 = –j(100·100·10^–6) ^–1= –j100 Ом;

= 100 Ом.

Вторая гармоника k = 2 (рис. 8.7)

е⁽²⁾(t) = 8Sin(200t+ ), следовательно

ω₂ = 200 рад·с^–1; ψ₂ = ; = 8 В;

;

Рис. 8.7

;

;

–j50 Ом; = 100 Ом.

Определяем напряжение на вольтметре для каждой гармоники из частичных схем.

k = 0 = 10 В.

k = 1 .

= 100 + j100 –j100 = 100 Ом.

На частоте первой гармоники наблюдается резонанс напряжений:

, 7,07·(100)^–1·100 = 7,07· В.

= 7,07 В; = 7,07· ·Sin(100t – ) В.

k = 2 .

= 100 + j200 –j50 = 100 + j150 Ом = = 180,3 Ом.

5,67· ·(180,3 )^–1·50 = 1,57· В.

= 1,57 В; = 1,57· ·Sin(200t – 56,3°) В.

Показания вольтметра

Напряжение на вольтметре, как функция времени:

= [10 + 10Sin(100t– ) + 2,22 Sin(200t–56,3°)] В.

На рис. 8.8 приведены временные (волновые) диаграммы гармонических составляющих и сигнала в целом.

Рис. 8.8

Нулевая гармоника представляет собой сигнал постоянного уровня

10 В (штриховая линия). Первая гармоника (t) представляет собой синусоиду амплитудой 10 В, частотой 100 рад·с^–1, начальной фазой ( ) (штрих-пунктир-ная линия). Вторая гармоника (t) представляет собой синусоиду амплитудой 2,2 В частотой 200 рад·с^–1, начальной фазой –56,3° (–0,975 рад) (точечная линия). Сигнал u_V(t) (сплошная линия) представляет собой сумму всех трех гармоник. Особенно внимательно сложение гармонических функций и следует осуществлять в тех точках, где одна из гармоник равна нулю.