5.5. Составление характеристического уравнения и определение его корней

Для определения свободной составляющей искомого тока или напряжения необходимо составить соответствующее характеристическое уравнение. Есть несколько способов решения этой задачи. Рассмотрим два из них.

Алгоритм первого способа

1. Воспроизводим схему после коммутации.

2. Исключаем источники энергии, заменяя их внутренними сопротивлениями (рис. 5.29):

= =

Рис. 5.29

3. Определяем комплексные сопротивления реактивных элементов

Х_С = (jωС)⁻¹ и Х_L = jωL. Затем заменяем в них параметр jω на оператор ρ, в результате чего получаем операторные сопротивления (Сρ)⁻¹ и Lρ.

4. Разрываем ветвь с реактивным элементом (Сρ)⁻¹ или Lρ и определяем входное операторное сопротивление Z_вх(ρ) относительно полюсов разрыва.

5. Приравниваем Z_вх(ρ) к нулю, получаем характеристическое уравнение, решение которого является его корнем (корнями).

В схемах первого порядка корень всегда один, а в схемах второго порядка их два.

Пример 41. Определить корень характеристического уравнения в следующей схеме (рис. 5.30):

С = 100 мкФ, R₁ = R₂ = 100 Ом.

Рис. 5.30

Воспроизводим схему после коммутации (рис. 5.31,а). Исключаем источник э.д.с., заменив его внутренним сопротивлением R_ВН = 0 (рис. 5.31,б). заменяем емкость С ее операторным сопротивлением (Сρ)⁻¹ и разрываем ветвь, в которую она включена (рис. 5.31,в, 5.31,г).

а) б) в) г)

Рис. 5.31

Сворачиваем схему относительно полюсов разрыва. Сопротивления R₁ и R₂ включены параллельно, поэтому их можно заменить эквивалентным сопротивлением R_ЭКВ, определяемым равенством:

R_ЭКВ = R₁ · R₂ · (R₁ + R₂)⁻¹.

Теперь емкость и эквивалентное сопротивление R_ЭКВ включены последовательно, поэтому операторное входное сопротивление Z_вх(ρ) относительно полюсов разрыва определится:

Z_вх(ρ) = (Сρ)⁻¹ + R_ЭКВ .

Приравнивая его к нулю, получаем характеристическое уравнение:

(Сρ)⁻¹ + R_ЭКВ = 0.

Корень ρ₁ характеристического уравнения определится:

ρ₁ = − (С·R_ЭКВ)⁻¹ = − [100·10⁻⁶·100·100·(100+100)⁻¹]⁻¹ = −200 c⁻¹.

В тех случаях, когда схема после коммутации сложная, простыми преобразованиями получить значение Z_вх(ρ) крайне затруднительно.

В этих случаях алгоритм определения корней характеристического уравнения сводится к следующему.

Также, как и ранее, составляем схему после коммутации, исключаем источник энергии, заменяя его внутренним сопротивлением. Далее возможны два пути. Если в сложной семе преобразовать соединение "звезда – треугольник" или "треугольник – звезда" так, чтобы сложную схему преобразовать в простую, то остается в силе первый алгоритм. Сворачиваем все активные сопротивления в эквивалентные, составляем характеристическое уравнение вида:

(Сρ)⁻¹ + R_ЭКВ = 0, если в схеме емкость,

Lρ + R_ЭКВ = 0, если в схеме индуктивность.

Его решение дает корень вида:

Второй путь – любым методом составить систему уравнений в операторной форме, причем чем меньше уравнений, тем легче будет с ней далее работать. Далее необходимо составить определитель системы и приравнять его к нулю: Δ(ρ) = 0. Полученное уравнение будет характеристическим, а его решение и будет его корнем (корнями).

П ример 42. Определить корень характеристического уравнения в следующей схеме (рис. 5.32):

Рис. 5.32

Рис. 5.33

Рис. 5.34

В эквивалентной схеме соединение элементов простое, то есть параллельно – последовательное. Сопротивления R₄ и R₅₆ включены параллельно - общие узлы "1" и "4":

.

Сопротивления R₁ и R₃₆ также включены параллельно - общие узлы "1" и "2":

.

Теперь эквивалентная схема принимает вид (рис. 5.35):

:

Рис. 5.35

Сопротивления заменяем эквивалентным сопротивлением:

.

В итоге получаем эквивалентную схему (рис. 5.36)

Рис. 5.36

Приравняв его к нулю, получим характеристическое уравнение:

Lρ + R₂ + = 0 .

Его корень ρ₁ определится:

ρ₁ = −R_ЭКВ·L⁻¹,

где R_ЭКВ = + R₂ .

Для решения задачи вторым способом в качестве исходной берем схему до преобразования активных сопротивлений. Для этой схемы составим в операторной форме систему уравнений по МКТ.

Рис. 5.37

Контуры желательно выбрать таким образом, чтобы реактивный элемент (в данном случае элемент Lρ) входил только в собственное сопротивление контура и не входил в общее (рис. 5.38). Тогда выкладки будут проще.

Рис. 5.38

.

Раскрыв определитель , получим характеристическое уравнение в виде:

Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение приводится к виду:

,

совпадающему по структуре с корнем характеристического уравнения в первом варианте.