5.2. Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов в линейных схемах с сосредоточенными параметрами основан на решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ).

Как известно из математики, общее решение линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами вида:

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного ДУ [решению этого уравнения при = 0].

Любые соответствующие функции Х(t) ток или напряжение в схеме после коммутации могут быть представлены как сумма свободной или и принужденной или составляющих:

или

.

Общее решение характеризует свободные процессы в схеме, то есть процессы в отсутствие внешних источников энергии. Характер этих процессов не зависит от вида внешних воздействий, а определяется только параметрами пассивных элементов.

Частное решение определяет принужденный режим работы. То есть характеризует установившийся режим, зависящий от внешних источников энергии.

Функция или определяется порядком и коэффициентами однородного ДУ, точнее порядком и коэффициентами соответствующего ему характеристического уравнения. В простейших случаях порядок ДУ определяется количеством реактивных элементов, входящих в схему после коммутации.

Характеристическое уравнение – это функция параметра –оператора р, имеющая вид:

.

Она формируется из ДУ с нулевой правой частью путем замены функции Х(t) на 1, а функции на р^m , где .

При трех действительных неравных корнях р₁ ≠ p₂ ≠p₃ характеристического уравнения функция имеет вид:

,

где А₁, А₂, А₃ – постоянные интегрирования.

При двух комплексно – сопряженных корнях p₁ = − δ + jω₀ и p₂ = − δ − jω₀

характеристического уравнения функция имеет вид:

,

где δ – коэффициент затухания;

ω₀ и ν – соответственно угловая частота и начальная фаза свободных колебаний;

А – постоянная интегрирования.

В случае, если А₁ ≠ А₂ =А₃ = 0, что имеет место в случае ДУ первого порядка, функция имеет вид:

.

Все изложенное справедливо в отношении функции при замене на нее функции .

Рассмотрим подробно переходные процессы в схемах первого порядка, то есть в схемах, описываемых ДУ первого порядка. Для решения этой задачи необходимо определить три составляющих: постоянную интегрирования А₁ из начальных условий, корень p₁ характеристического уравнения из его решения и принужденную составляющую или искомой функции, которая определяется расчетом принужденного режима при t → ∞, когда переходные процессы завершатся.

5.3. Начальные условия. Независимые начальные условия

Начальные условия – это все токи и напряжения, а также их производные в момент коммутации. Если принять за момент коммутации , то начальные условия следующие: и так далее. Начальные условия делятся на независимые и зависимые. начальные условия, которые подчиняются законам коммутации, − это независимые начальные условия (ННУ), то есть это только .

Поскольку не могут измениться скачком, их можно определить в схеме до коммутации, а затем перенести в схему после коммутации

для момента коммутации.

Алгоритм определения ННУ

1. Изображаем схему до коммутации.

2. Если в схеме до коммутации включен источник постоянного сигнала, то есть Е = соnst или I₀ = соnst, то необходимо перейти к эквивалентной схеме по постоянному току (рис. 5.6):

=

=

Рис. 5.6

3. В полученной схеме любым удобным методом определяем i_L(0) и u_С(0).

4. Если в схеме до коммутации включен источник гармонического сигнала, то необходимо перейти к комплексной схеме замещения:

.

В полученной комплексной схеме любым удобным методом определить

и перейти к гармонической функции:

.

5. Определить значение гармонической функции при t = 0, то есть .

Если в схеме до коммутации источник отключен, то любое ННУ нулевое, то есть ННУ всегда вещественное число, так как это значение тока или напряжения в момент времени, оно не может быть комплексным.

Пример 33. Определить ННУ в схеме (рис. 5.7):

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Пример 34. Для схемы рис. 5.9 определить ННУ, если Е = соnst, известны R₁, R₂. Нужно найти .

Рис. 5.9

Изображаем схему до коммутации (рис. 5.10).

Рис. 5.10

Так как источник Е = соnst, переходим к эквивалентной схеме по постоянному току (рис. 5.11).

Рис. 5.11

В схеме имеет место один ток I, который можно определить из уравнения по II закону Кирхгофа. Напряжение на емкости равно напряжению на сопротивлении R₂, так как они включены параллельно. Можно записать:

.

Итак, .

Пример 35.

Рис. 5.12

В качестве ННУ будем определять .

1. изображаем схему до коммутации (рис. 5.13).

Рис. 5.13

2. Поскольку в схеме включен источник гармонического сигнала, переходим к комплексной схеме замещения (рис. 5.14).

Рис. 5.14

3. Определяем комплексное амплитудное значение тока индуктивности из уравнения по II закону Кирхгофа:

;

= 10 · (100 + j100)⁻¹ = 10 · (141 )⁻¹ = 0,07 А.

4. Переходим от комплексного амплитудного значения тока индуктивности к гармонической функции :

= 0,07sin(100t − ) А .

5. Определяем значение тока индуктивности при t = 0:

= 0,07sin(100·0 − ) = − 0,05 А.

Итак, = − 0,05 А.