4. Методы расчета сложных схем
Схема называется сложной, если она включает несколько источников и (или) соединение элементов типа "звезда" (рис. 4.1,а) или "треугольник"
(рис. 4.1,б):
а) б)
Рис. 4.1
4.1. Расчет электрических схем по законам Кирхгофа
Сущность метода заключается в совместном решении системы уравнений по I и II законам Кирхгофа.
Пусть схема содержит в ветвей, y узлов, вi ветвей с источниками тока.
Необходимо определить токи ветвей.
По I закону Кирхгофа может быть записано ХI независимых уравнений, где ХI = y − 1, так как каждая ветвь схемы содержит два узла. Если составить y
уравнений, то ток каждой ветви дважды войдет в систему уравнений, но с разными знаками. Если все уравнения просуммировать, то получится тождество вида 0 = 0. Следовательно, одно из уравнений является зависимым, то есть вытекающим из всех остальных. Узлы, для которых записываются независимые уравнения по I закону Кирхгофа, называются независимыми узлами.
Очевидно, в схему с общим числом у узлов входит у – 1 независимых узлов.
Ко всем ветвям, кроме тех, что содержат источники тока, можно применить обобщенный закон Ома (рис. 4.2):
Рис. 4.2
;
.
Число независимых уравнений по II закону Кирхгофа ХII = в − вi −( y − 1).
Оно равно числу главных ветвей схемы.
Для того, чтобы по II закону Кирхгофа уравнения и, следовательно, конту-
ра были независимыми, достаточно, чтобы каждый последующий контур отли-
чался от предыдущих хотя бы одной новой ветвью.
Алгоритм расчета по законам Кирхгофа
1. Строим дерево и граф схемы, из которых определяем число главных ветвей и, следовательно, число независимых контуров.
2. Выбираем независимые контуры и задаемся направлением их обхода.
3. Задаемся направлениями токов ветвей.
4. Составляем ХI уравнений по I закону Кирхгофа.
5. Составляем ХII уравнений по II закону Кирхгофа.
6. Решаем составленные уравнения совместно относительно токов.
Пример 26. Задана схема (рис. 4.3). Требуется определить токи ветвей.
Рис. 4.3
Задаемся направлением токов ветвей (произвольно).
Строим дерево и граф схемы (рис. 4.4,а и 4.4.,б). Выбираем направления обходов контуров I – первого, II – второго, III – третьего, все по часовой стрел-
к
е
(рис. 4.4,в).
а) б) в)
Рис. 4.4
Составляем систему уравнений по I закону Кирхгофа:
для узла 1:
;
для узла 2:
;
для узла 3:
;
для узла 5:
.
Главных ветвей 3. По II закону Кирхгофа имеем 3 уравнения:
для контура I
;
для контура II
;
для контура III
.
Для определения токов ветвей уравнения по I и II законам Кирхгофа необходимо решить совместно:
