2.10. Энергетические процессы в цепях с источниками гармонического сигнала

В схемах с источниками гармонического сигнала различают мгновенную, активную (среднюю), реактивную, полную и полную комплексную мощности.

Мгновенная мощность р(t)– это скорость поступления в схему электрической энергии:

.

Измеряется p(t) в ваттах.

Активная (или средняя) мощность Р – это среднее значение мгновенной мощности за период времени Т:

.

Измеряется мощность Р в ваттах. Она физически представляет собой среднюю энергию, выделяющуюся в виде тепла на участке схемы в единицу времени.

Для любого двухполюсника, к полюсам которого приложено гармоничес-

кое напряжение и по которому протекает гармонический ток, активная мощность Р может быть определена из соотношения:

,

где U – действующее значение напряжения, приложенного к двухполюснику;

Ι – действующее значение тока, протекающего в двухполюснике;

φ – угол сдвига фаз между током и напряжением ;

Cosφ – коэффициент мощности.

Чем больше Cosφ, тем больше активной мощности передается источником энергии приемнику (двухполюснику) при заданных токе и напряжении.

Реактивная мощность Q – это мера потребления (или выработки) реактивного тока. Измеряется мощность Q в вольт–амперах реактивных (ВАР). Для любого двухполюсника справедливо:

.

Полная мощность S – это величина, равная произведению действующих значений напряжения, приложенного к двухполюснику, и тока, протекающего в двухполюснике. Измеряется мощность S в вольт–амперах (ВА). Для любого двухполюсника справедливо:

.

Рассмотрим расчет мощности в отдельных элементах схемы.

Активное сопротивление

i(t) = I_m·Sin (ωt+ψ_i),

u(t) = U_m·Sin (ωt+ψ_u),

р_R(t) = I_m·Sin (ωt+ψ) · U_m·Sin (ωt+ψ) = I_m·U_m·Sin² (ωt+ψ) = U·I – U·I·Cos[2(ωt+ψ)].

В данном случае ψ_i = ψ_u = ψ, на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, поэтому имеют один и тот же знак, следовательно их произведение всегда положительно. Нетрудно видеть, что мгновенная мощность

р_R(t) имеет постоянную составляющую и составляющую с удвоенной круговой частотой, при этом она всегда положительна.

Активная мощность на активном сопротивлении определится:

Р_R = Ι·U = Ι·Ι·R = Ι² · R, так как φ = 0.

Реактивная мощность .

Полная мощность S_R = P_R.

Индуктивность L

р_L(t) = u_L(t)·i_L(t)· = U_m·Sin (ωt+ψ_i+ )· I_m·Sin (ωt+ψ_i) = U_L·I_L·sin [2(ωt+ψ_i)].

Мгновенная мощность р_L(t), поступающая в индуктивность, изменяется по гармоническому закону с круговой частотой 2ω и амплитудой U_L·I_L.

Активная мощность индуктивности определится:

Р_L = U_L·I_L Сos = 0, так как φ = .

Реактивная мощность .

Полная мощность .

Емкость С

р_С(t) = U_С·I_С·sin [2(ωt+ψ_u)].

Мгновенная мощность р_С(t), поступающая в емкость, изменяется с круговой частотой 2ω и амплитудой U_С·I_С.

Активная мощность емкости определится:

Р_С = U_С·I_С Сos = 0 , так как φ = .

Реактивная мощность .

Полная мощность S_C = Q_C.

Таким образом, реактивная мощность положительна при индуктивной нагрузке и отрицательна при емкостной.

Очевидно, что мощность имеет комплексное представление.

Комплексная величина S, модуль которой равен S, а аргумент φ – углу сдвига фаз между током и напряжением, называется полной комплексной мощностью:

S = S·е^jφ = S·Cosφ + jSinφ = Р + jQ ,

то есть Р = Rе[S], Q = Im[S].

На комплексной плоскости можно представить треугольник мощностей (рис. 2.34):

Рис. 2.34

Справедливы равенства:

, S² = Q² + P² ,

г де - ток, комплексно сопряженный с током .

Баланс мощностей вытекает из закона сохранения энергии, так как сум-

ма мгновенных мощностей всех элементов схемы в любой момент времени рав-

на нулю.

В комплексной форме, учитывая, что в схеме есть источники и приемники энергии, уравнение баланса мощностей можно записать в виде:

,

где – полная комплексная мощность k-го источника энергии; – полная комплексная мощность k-го приемника энергии; N – число источников энергии;

М – число приемников энергии.

Таким образом, алгебраическая сумма полных комплексных мощностей, отдаваемых источниками энергии, равна алгебраической сумме полных комплексных мощностей всех пассивных элементов.

Правило знаков для мощностей источников иллюстрируется схемой

(рис. 2.35):

Рис. 2.35

Из уравнения баланса мощностей следует уравнение баланса активной и реактивной мощностей:

следовательно

Для расчета необходимо вычислить отдельно активную и реактивную мощности потребления:

где М_R – число активных сопротивлений;

R_k – k–ое активное сопротивление;

– действующее значение тока через k–ое активное сопротивление;

– число емкостных пассивных элементов;

– реактивное сопротивление k–го емкостного пассивного элемента;

– действующее значение тока через k–ый емкостной пассивный элемент;

– число индуктивных пассивных элементов;

– реактивное сопротивление k–го индуктивного пассивного элемента;

– действующее значение тока через k–ый индуктивный пассивный

элемент.

Затем необходимо сравнить результаты расчета с активной Р_ИСТ и реактивной Q_ИСТ мощностью источников энергии и вычислить погрешности δ_Р и δ_Q

баланса мощностей.

Алгоритм расчета баланса мощностей:

рассчитать комплексные действующие токи ветвей схемы. Определить

*

полную комплексную мощность источника:

I_k,

, если источник тока ( − напряжение на полюсах источника).

I_k

*

если источник э.д.с.,

Представить в алгебраической форме .

определить активную мощность Р_ПОТР потребления.

Определить реактивную мощность Q_ПОТР потребления.

Определить погрешности баланса:

Если δ_Р > 1% и (или) δ_Q > 1%, то необходимо искать ошибку, начиная с расчетов токов. Чаще всего она заключается в грубом округлении рассчитанных значений сопротивлений и токов. Рекомендуется при округлении оставлять не менее четырех значащих чисел.