18

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный строительный университет»

Утверждено на заседании

кафедры теоретической механики

22 февраля 2007 г.

Динамика относительного движения точки Методические указания для иностранных студентов

Ростов-на-Дону

2007

УДК 531.01

Динамика относительного движения точки: Методические указания для иностранных студентов. – Ростов н/Д: Ростовский государственный строительный университет, 2007. – 19 с.

Предназначены для иностранных студентов, испытывающих трудности при записи лекций по теоретической механике. Даны основные определения, формулировки теорем. Рассмотрены типовые задачи.

УДК 531.01

Составитель: канд. физ.-мат. наук М.Ю. Ремизов

Рецензент : канд.физ.-мат. наук Е.Б. Русакова

Редактор Т.М. Климчук

Темплан 2007 г., поз. 157

Подписано в печать 08.06.07. Формат 60х84/16. Ризограф.

Бумага писчая. Уч.- изд. л. 1,0.

Тираж 50 экз. Заказ 309.

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

строительный университет, 2007

1. Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

Известно, что силы, действующие на точку и являющиеся результатом взаимодействия ее с другими телами, не зависят от выбора системы координат и определяются соответствующими физическими законами взаимодействия. Например, сила тяготения зависит от масс взаимодействующих тел и расстояния между ними; сила упругости – от величины деформации пружины; сила сопротивления среды – от скорости тела относительно среды. Массы тел, расстояния между точками, деформации пружины в классической механике во всех системах координат – одни и те же величины.

Ускорение точки зависит, как известно из кинематики, от выбора системы координат. Следовательно, закон, связывающий ускорение материальной точки и действующие на нее силы, не инвариантен относительно выбора системы отчета.

Обозначим равнодействующую всех непосредственно приложенных к рассматриваемой материальной точке сил вектором . Эти силы создают абсолютное ускорение точки в «неподвижной» системе координат. Уравнение движения точки

(1)

В качестве «неподвижной» может быть взята система координат, начало которой находится в центре инерции Солнечной системы, а оси направлены к трем неподвижным звездам.

В инженерной практике часто встречаются задачи, когда требуется изучить движение материальной точки (тела) по отношению к подвижному пространству. Например, движение подвижных частей приборов, установленных на движущихся объектах, расчет траекторий космических летательных аппаратов по отношению к подвижным системам координат, связанным с планетами, и др.

Постановка задачи. Зная действующие на точку силы и движение подвижной системы координат, найти закон относительного движения точки.

Пусть - условно неподвижная система координат (с.к.), x,y,z - подвижная с.к. (рис. 1). M

Z

A

O

Y

X

Рис. 1

Напомним, что движение точки М относительно подвижной системы координат называется относительным; движение точки М вследствие движения подвижного пространства называется переносным; движение точки М относительно неподвижной системы координат называется абсолютным.

Из кинематики известно, что самое общее движение свободного твердого тела (мы его связываем с подвижной системой координат) можно представить состоящим из поступательного движения вместе с какой-либо тела (А) и вращательного движения вокруг этой точки.

Абсолютное ускорение т. М находится по формуле

, (2)

г де , - соответственно относительное, переносное и кориолисово ускорения, причем относительное ускорение находится по формулам кинематики точки, переносное – как ускорение точки свободного твердого тела, ускорение Кориолиса – по формуле

Здесь - угловая скорость переносного движения, - относительная скорость точки.

Подставляя (2) в (1), после простых преобразований получим

. (3)

Введем обозначения:

, . (4)

Величины , по размерности являются силами. Назовем их соответственно переносной и кориолисовой (поворотной) силами. Тогда предыдущее уравнение примет вид

. (5)

Уравнение (5) выражает основной закон динамики для относительного движения (динамическая теорема Кориолиса).

В подвижной системе отсчета основной закон динамики не выполняется; но если к действующим на точку силам взаимодействия с другими материальными точками присоединить переносную и кориолисову силы инерции и , то уравнения движения в подвижной системе отсчета можно составлять так, как если бы она была неподвижной.

Важно понимать, что в неподвижной системе отсчета материальная точка может иметь ускорение только вследствие одной причины – действия на нее сил, т.е. взаимодействия с другими материальными телами. В подвижной системе отсчета причин две: действие сил (динамическая причина) и движение самой системы отсчета (кинематическая причина). Действительно пусть (на точку силы не действуют или они уравновешены), тогда

,

т.е. точка будет иметь ускорение по отношению к подвижной системе только за счет движения последней, а не в результате действия каких-то сил.

Таким образом, невыполнение в подвижной с.к. основного закона динамики связано с тем, что по отношению к этой системе точка получает ускорение не только в результате действия силы, но и вследствие движения самой системы отсчета.