5 Методика решения задачи по определению коэффициента запаса для сосуда, работающего под давлением, с трещиной в стенке

Рассмотрим решение задачи в общем виде.

Трещина расположена так, что перпендикулярно ее берегам действуют окружные нормальные напряжения, максимальные по величине (см. формулы 3.1 и 3.2). Следовательно, положение трещины наиболее неблагоприятно.

5.1 Запас прочности сосуда.

Запас прочности сосуда определяется коэффициентом запаса n в соответствии с формулой

, (5.1)

где _кр. – критическое (номинальное разрушающее) напряжение для материала сосуда,  _кр.= _разр.;

_экв. – эквивалентное напряжение в материале сосуда.

5.2 Эквивалентные напряжения.

Эквивалентные напряжения определяются по значениям главных напряжений, в соответствии с заданной условием задачи теорией прочности по зависимостям 3.4 – 3.8.

5.3 Критическое (номинальное разрушающее) напряжение материала сосуда.

Критическое (номинальное разрушающее) напряжение для материала сосуда определяется по формуле

(5.2)

где _кр. – критическое (номинальное разрушающее) напряжение по неослабленному сечению;

ℓ_эфф. – глубина трещины в стенке сосуда с учетом размеров пластической зоны в вершине трещины;

f_Iк – поправочная функция, учитывающая форму и размеры сосуда, а также способ нагружения;

К_Ic – критическое значение коэффициента интенсивности напряжений для материала сосуда.

На данном этапе решения параметры, входящие в формулу 5.2 (характеристики сопротивления разрушению материала сосуда), неизвестны.

Трещина в сосуде является трещиной нормального отрыва (разрушающие напряжения направлены перпендикулярно берегам трещины), поэтому в формулу (5.2) входят значения К_Ic и f_Iк для такого типа трещин.

5.4 Коэффициент интенсивности напряжений для материала сосуда К_Ic.

Для определения коэффициента интенсивности напряжений для материала сосуда К_Ic проводят статические испытания на растяжение при комнатной температуре плоских образцов из того же материала и той же толщины, что и стенка сосуда.

По результатам эксперимента определяется номинальное разрушающее напряжение по минимальному сечению _н.

Результаты эксперимента переносятся на основную конструкцию, т.е. для определения критического значения коэффициента интенсивности напряжений для материала сосуда К_Ic используются результаты испытания образцов, выполненных из материала конструкции.

В образце выполняется центрально расположенная трещина нормального отрыва длиной 2ℓ_обр. (рисунок 6). Ширина образца 2В.

К_Ic определяется по известному уравнению (критерий Ирвина-Орована) с учетом поправочной функции:

(5.3)

Рисунок 6 Схема расположения трещины в образце

Параметры, входящие в формулу 5.3, определяются в соответствии с формулами, приведенными ниже.

Разрушающее напряжение по неослабленному сечению  определяется из условия, что ослабленное и неослабленное сечения воспринимают одну и ту же нагрузку:

∙2В∙Н = _н∙(2В – 2ℓ_об.)∙Н,

откуда

(5.4)

где _н – номинальное разрушающее напряжение, полученное при испытании на растяжение по минимальному (ослабленному) сечению образца;

ℓ_об. – длина трещины в образце;

2В – ширина образца;

Н – толщина образца.

Ширина образца В, длина трещины ℓ_об. и значение напряжения _н задаются условием задачи.

Развитие трещины в материале при нагружении сопровождается пластическими деформациями в вершине трещины, следовательно, ее длина увеличится.

Для исследуемого образца эффективная длина трещины в образце ℓ_эфф.об. (рисунок 7) определяется по формуле (5.5), с учетом размеров пластической зоны в вершине трещины.

(5.5)

где  – величина разрушающего напряжения по неослабленному сечению, определенная по формуле (5.4);

_0,2 – условный предел текучести материала стенки сосуда.

Рисунок 7. Эффективная длина трещины в образце

Поправочная функция f_{Iк об.}, учитывающая условия нагружения и положение трещины в образце, для пластины с центрально-расположенной трещиной определяется по формуле [1]:

. (5.6)

По формуле (5.3) рассчитывается коэффициент интенсивности напряжений К_1с для материала, из которого изготовлен сосуд.

5.5 Определение критических (номинальных разрушающих напряжений) в стенке сосуда.

Для определения критических напряжений используем значение К_Iс, полученное по результатам испытания образца (п. 5.4).

При наличии в стенке сосуда полуэллиптической трещины величина критических (номинальных разрушающих напряжений) будет определяться характеристиками сопротивления разрушению материала стенки сосуда (формула 5.2).

Глубина трещины в стенке сосуда с учетом размеров пластической зоны в вершине трещины ℓ_эфф. неизвестна, поэтому расчет начинаем с определения этих напряжений по начальной глубине трещины ℓ.

Тогда критические напряжения в стенке сосуда в зоне трещины

(5.7)

где ℓ – глубина трещины в стенке сосуда (задана по условию задачи);

f_Iк – поправочная функция, определяемая с учетом особенностей расположения, размерами, положением и формой трещины в стенке сосуда.

Рассмотрим порядок определения поправочной функции.

По условию задачи (см. рисунки 4, 5), расположение трещины соответствует схеме на рисунке 8 (рисунки 4.15 и 4.16 [1]).

Для заданного расположения трещины поправочная функция определяется по формуле (обозначения показаны на рисунке):

(5.8)

Коэффициент Ф₀ в формуле (5.8) линейно зависит от отношения : .

Его значения определяются по графику, приведенному на рисунке 9 [1].

В случае, если  0,1 значение поправочной функции f_Iк = 1,12.

Рисунок 8. Полубесконечный цилиндр:

а) с трещиной на поверхности; б) трещина имеет вид полуэллипса

Рисунок 9. График для определения значений функции Ф₀

Края трещины (стенка сосуда в месте разрушения) под действием внутреннего давления выгибаются наружу (рисунок 10).

Рисунок 10. Сквозная трещина в стенке сосуда

Поэтому вводится поправка на увеличение интенсивности напряжений при выгибании стенки толщиной Н сосуда радиусом R при образовании сквозной трещины. На величину этой поправки увеличивается поправочная функция, рассчитанная по формуле 5.8. Тогда:

(5.9)

Найденные параметры подставляются в формулу (5.7), по которой подсчитывается значение критического напряжения.

5.6 Выполняется первое приближение – в соответствии с п. 5.5 определяются глубина и длина трещины в стенке сосуда с учетом зоны пластической деформации, значение поправочной функции и величина критического напряжения.

В соответствии с формулой (5.2), с учетом полученного по формуле в первом приближении значения напряжения _кр, определяется . Расчетная формула аналогична (5.5), но расчет уже ведется для материала стенки сосуда:

(5.10)

При этом длина трещины в сосуде 2а возрастёт с тем же коэффициентом пропорциональности, что и глубина трещины:

(5.11)

Новое значение поправочной функции в первом приближении

. (5.12)

Величина критических (разрушающих) напряжений _кр в первом приближении:

(5.13)

5.7 Выполняется второе приближение – определяются значения , , , . Расчет ведется по аналогии с п. 5.6.

5.8 По аналогии выполняется третье приближение.

Расчет (приближения) прекращается, если значения критических напряжений в предыдущем и последующем приближениях будут отличаться незначительно (например, погрешность – не более 5%).

При решении задачи достаточно, как правило, трех приближений.

В результате получаем уточненную величину критических (номинальных разрушающих) напряжений для материала стенки сосуда _{кр. ст.}.

5.9 Определяется коэффициент запаса – см. п.5.1.

Если коэффициент запаса меньше единицы, то нагружение сосуда при заданных условием задачи исходных данных недопустимо!