§ 2. Ориентация плоскости и пространства

п.1. Определение ориентации плоскости

Наглядное представление ориентации даёт рассмотрение треугольников, изображённых на рисунке 2. Эти треугольники равны. При этом треугольники «а» и «б» можно совместить непрерывным перемещением по плоскости, но ни один из них нельзя так совместить с треугольником «в». Треугольники «а» и «б» ориентированы одинаково, но каждый из них ориентирован противоположно с треугольником «в».

Вместо треугольников можно воспользоваться системами координат S (O, x, y), S '(O', x', y'), S' (O'', x'', y'') (рис. 3), причем оси в каждой системе упорядочены: первые оси O x, O' x', O'' x''. Соответствующие положительные полуоси систем «а» и «б» можно совместить непрерывным движением по плоскости, а для систем «а» и «в» это невозможно. Системы «а» и «б» ориентированы одинаково, но каждая из них ориентирована противоположно с системой «в».

Рассмотрим теперь три базиса E={e₁, e₂}, E'={e₁', e₂'}, E''={e₁'', e₂''} (рис. 4). Векторы каждого базиса упорядочены.

Базис E можно непрерывными перемещениями и деформациями перевести в базис E' так, что при этом векторы всё время остаются неколлинеарными, т.е. образуют базис. Подобным же образом перевести базис E в базис E '' невозможно. Базисы E и E ' ориентированы одинаково, а базисы E и E '' ориентированы противоположно.

Приведённые соображения опираются на наглядные представления. Перейдём к определению ориентации.

Пусть даны базисы E={e₁, e₂}, E'={e₁', e₂'}. Все базисы в дальнейшем считаем упорядоченными. Векторы e₁', e₂' линейно выражаются через векторы e₁, e₂ базиса E формулами вида:

e₁'= a₁₁e₁ + a₂₁e₂ ,

e₂' = a₁₂ e₁+ a₂₂e₂. (1)

Так как векторы e₁', e₂' линейно независимы, то

Определитель  назовём определителем перехода от базиса E к базису E' и будем обозначать  (E,E').

Базис E' называется одинаково ориентированным с базисом E, если определитель перехода  (E,E') положителен. Если  (E,E') < 0, то базис E' называется противоположно ориентированным с базисом E.

Теорема 1. Отношение одинаковой ориентированности базисов есть отношение эквивалентности. Существуют ровно два класса эквивалентности.

Предварительно докажем две леммы.

Лемма 1. Пусть даны базисы E={e₁, e₂}, E'={e₁', e₂'}, E''={e₁'', e₂''} и пусть переход от базиса E к базису E ' задан системой (1), а переход от базиса E' к базису E'' – системой

e₁= b₁₁e₁ + b₂₁e₂ ,

e₂ = b₁₂ e₁+ b₂₂e₂. (2)

Тогда определитель перехода  (E, E''') равен произведению

(E,E')·(E,E').

Доказательство. Выразим векторы e₁, e₂ через векторы e₁, e₂.

e₁ = b₁₁(a₁₁e₁ + a₂₁e₂) + b₂₁( a₁₂ e₁+ a₂₂e₂),

e₂ = b₁₂( a₁₁e₁ + a₂₁e₂) +b₂₂(a₁₂ e₁+ a₂₂e₂);

e₁ = (a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁)e₁ + (a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁)e₂,

e₂ = (a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂)e₁ + (a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂)e₂.

Тогда (E,E') =

Вычислив произведение (E,E') ^.(E,E'), убедимся в равенстве:

(E,E') = (E,E') ^. (E,E'). (3)

Лемма 2. (E',E)=((E,E'))^{- 1}.

Воспользуемся леммой 1, полагая E =E.

Так как  (E,E') =  (E,E) и e₁=1e₁+0 e₂, e₂= 0e₁+ 1 e₂, то (E,E) = 1. Поэтому  (E,E') (E,E) = 1. Тогда

 (E',E)=(  (E,E'))^{- 1} (4)

Доказательство теоремы

I. Докажем, что отношение одинаковой ориентированности базисов есть отношение эквивалентности. Для этого нужно проверить выполнение трёх условий.

1. Рефлексивность. Очевидно, что для всякого базиса E выполняется равенство  (E,E) = 1>0.

2. Симметричность следует из леммы 2.

3. Транзитивность следует из леммы 1.

II. Докажем, что существуют ровно два класса эквивалентности.

Напомним, что каждый класс однозначно определяется любым своим элементом (представителем). Выберем произвольный базис E(e₁, e₂). Он определяет некоторый класс эквивалентности A. Выберем какой-нибудь базис, не принадлежащий классу A, например, базис E (e₁,e₂ ) с векторами e₁ = e₁, e₂  =- e₂. Тогда (E,E') = - 1 < 0. Базис E не принадлежит классу A . Следовательно, он определяет новый класс B. Докажем, что существует только два класса эквивалентности, то есть, что всякий базис принадлежит либо классу A, либо классу B.

Если  (E,E') > 0, то базис E принадлежит классу A. Пусть  (E,E') < 0. По лемме 1 выполняется равенство  (E,E') =  (E,E')  (E,E'). Так как  (E,E') < 0 и  (E,E') < 0 , то  (E,E')>0 и базис E принадлежит классу B.

Класс одинаково ориентированных базисов называется ориентацией плоскости. Чтобы задать ориентацию плоскости, достаточно указать один базис.

Две системы координат называются одинаково ориентированными, если одинаково ориентированы их базисы. Заметим, что параллельный перенос осей координат не меняет ориентацию. Системы координат, связанные формулами (20) и (21) § 1, имеют одинаковую ориентацию; системы координат, связанные формулами (22) и (23) § 1, имеют противоположные ориентации.

Выбранную ориентацию обычно называют положительной, базисы и системы координат этой ориентации – правыми. Другую ориентацию называют отрицательной, а её базисы и системы координат – левыми. Базисы правой ориентации обычно изображают так, чтобы кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходил против часовой стрелки (рис. 4). Базисы и системы координат разной ориентации обладают одинаковыми свойствами.

Легко видеть, что при умножении любого из базисных векторов на положительное число ориентация базиса не меняется. При умножении одного из базисных векторов на отрицательное число ориентация базиса меняется на противоположную.

п.2. Ориентированный угол

Понятие ориентированного угла на наглядном уровне встречается в курсе средней школы при определении тригонометрических функций. Материал предыдущего пункта позволяет дать определение ориентированного угла, не связанное с часовой стрелкой и другими объектами окружающего мира.

Пусть на ориентированной плоскости дан угол hk , отличный от нулевого и развёрнутого, и пусть его величина равна . Направляющие векторы сторон угла образуют базис { }.

Ориентацией угла  hk называется ориентация базиса { }. Величиной ориентированного угла  (часто говорят просто ориентированным углом) называется число , если угол hk ориентирован положительно, и число - , если он ориентирован отрицательно.

п.3.Плоский флаг

Флагом (плоским флагом) называется объединение открытой полуплоскости и луча на её границе. Обозначим полуплоскость через , луч - l, его начало - O; тогда флаг удобно обозначать {l,} или {O,l,}. Если на плоскости задана ориентация, то она естественным образом определяет ориентацию флага. Выберем произвольный луч m с началом O, содержащийся в открытой полуплоскости . Ориентацией флага {O,l,} назовём ориентацию угла lm . Очевидно, что ориентация флага не зависит от выбора луча m с началом O, содержащегося в открытой полуплоскости . Из сказанного следует, что ориентацию плоскости можно задавать выбором флага.

п.4. Ориентация пространства

Наглядное представление об одинаково (противоположно) ориентированных тройках векторов (базисов) приводится при изучении векторного произведения.

Определение ориентации пространства почти дословно повторяет определение ориентации плоскости.

Пусть даны два базиса E={e₁, e₂, e₃}, E'={e₁', e₂', e₃'}. Векторы e₁', e₂', e₃' линейно выражаются через векторы e₁, e₂, e₃ базиса E :

e₁'= a₁₁e₁ + a₂₁e₂ + a₃₁e₃,

e₂' = a₁₂ e₁+ a₂₂e₂ + a₃₂e_3,

e₃' = a₁₃e₁ + a₂₃e₂ + a₃₃e₃.

Говорят, что базис E' одинаково ориентирован с базисом E , если

> 0.

Как и для базисов на плоскости, доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Отношение одинаковой ориентированности базисов есть отношение эквивалентности. При этом существуют ровно два класса эквивалентности.

Класс эквивалентности одинаково ориентированных базисов называется ориентацией пространства. Две системы координат называются одинаково ориентированными, если одинаково ориентированы их базисы.

Пространственным флагом называется объединение открытого полупространства, открытой полуплоскости на его границе и луча на её границе. Флаг с полупространством H, полуплоскостью  и лучом l с началом O будем обозначать {O, l, , H} или {l, , H}.

Выберем базис {e₁, e₂, e₃}, направив векторы из точки O так, что вектор e₁ лежит на луче l, вектор e₂ – в полуплоскости , а вектор e₃ – в полупространстве H. Ориентацией флага называется ориентация построенного таким образом базиса. Легко видеть, что ориентация флага на зависит от выбора на луче, вектора на полуплоскости и вектора в полупространстве. Ориентацию пространства можно задавать флагом.