Говорят, что три точки находятся в общем положении, если они не лежат на одной прямой.

Теорема 6. Пусть A, B, C и A, B, C – две тройки точек общего положения. Существует единственное аффинное преобразование, переводящее точки A, B, C соответственно в точки A,B, C.

Доказательство. Введём аффинную систему координат так, чтобы A(0,0), B(1,0,), C(0,1). Координаты других точек обозначим A(m_1,m₂), B (n₁,n ₂), C (p₁,p₂).

Найдём преобразование вида (6), удовлетворяющее условию теоремы. Найти преобразование – значит, найти числа a₁, a₂, b₁, b₂, a, b, для которых выполняются равенства:

m₁ = a₁0 +a₂0 +a,

m₂ = b₁0 +b₂0 +b,

n₁ = a₁1 +a₂0 +a, (12)

n₂ = b₁1 +b₂0 +b,

p₁ = a₁0 +a₂1 +a,

p₂ = b₁0 +b₂1 +b.

Система уравнений (12) относительно неизвестных a₁, a₂, b₁, b₂, a, b, имеет решение

a = m₁, b = m₂,

a₁ = n₁ – m₁, a₂ = p₁- m₁,

b₁ = n₂ – m₂, b₂ = p₂ – m₂.

Определитель системы (12)

отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение.

Определитель так как точки A,B,C не лежат на одной прямой. Таким образом, найденные коэффициенты однозначно определяют искомое аффинное преобразование.

Эту теорему часто называют основной теоремой об аффинных преобразованиях. Её можно сформулировать иначе.

Теорема 6*. Для любых двух треугольников с указанным соответствием вершин существует единственное аффинное преобразование плоскости, отображающее один из них на другой.

Следствие 1. Любые два треугольника аффинно эквивалентны.

Следствие 2. Любые два параллелограмма аффинно эквивалентны.

п.4. Конструктивное представление аффинных преобразований

Аффинное преобразование называется перспективно-аффинным, если множество его неподвижных точек содержит прямую. Название этого преобразования связано с тем, что его можно получить, проектируя параллельно одну из двух пересекающихся плоскостей на другую и совмещая их поворотом вокруг линии пересечения (неподвижной прямой).

Свойства перспективно-аффинных преобразований позволяют все аффинные преобразования представить в виде композиции движений и сжатий.

Теорема 7. Всякое аффинное преобразование можно представить в виде композиции перспективно-аффинного преобразования и подобия.

Доказательство. 1. Докажем сначала, что перспективно-аффинное преобразование однозначно определяется заданием неподвижной прямой и пары не лежащих на ней соответствующих точек.

Пусть p– неподвижная прямая перспективно-аффинного преобразования f и точка A = f (A) – образ точки A. Докажем, что определён образ любой точки M. Если прямая AM пересекает прямую p в некоторой точке B, то точка M = f(M) лежит на луче BA и (рис.17). Следовательно, точкa M определена однозначно. Если прямая AM параллельна прямой p, то точка Mявляется вершиной параллелограмма AAMM (рис.18).

2. Пусть аффинное преобразование g определено треугольниками ABC и ABC так, что A = g(A), B=g(B), C = g(C).

Построим треугольник ABC₁, подобный треугольнику ABC. По первой части доказательства существует перспективно-аффинное f, переводящее треугольник ABC в треугольник ABC₁ (прямая AB неподвижна). Существует преобразование подобия Π, отображающее треугольник ABC на треугольник ABC. Таким образом, композиция Π◦f переводит треугольник ABC в треугольник ABC, а значит по теореме 6 g=Π◦f

Теорема 8. При всяком аффинном преобразовании через каждую точку проходят две взаимно перпендикулярные прямые, образы которых тоже взаимно перпендикулярны.

Доказательство. Так как преобразование подобия сохраняет угол между прямыми, то, на основании предыдущей теоремы, достаточно провести доказательство для перспективно-аффинного преобразования. Пусть f – перспективно-аффинное преобразование с неподвижной прямой p. Выберем произвольную точку M, не лежащую на прямой p, и обозначим f(M)=M.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Прямая MM перпендикулярна прямой p (рис.19). Обозначим точку пересечения прямых MM и p через A. Так как f(A)=A, то f(MM) = MM. Прямая p неподвижна, поэтому прямая m, проходящая через точку M параллельно прямой p, переходит в прямую m, проходящую через точку M параллельно прямой p.

2. Прямая MM не перпендикулярна p (рис.20), Проведём через точки M и M окружность с центром на прямой p. Она пересекает прямую p в двух точках B и C. Так как точки B и C неподвижны, то взаимно перпендикулярные прямые BM и MC переходят во взаимно перпендикулярные прямые BM и MC (напомним, что вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр – прямой).

Направления прямых, обладающих свойством, указанным в теореме, называются главными направлениями.

Теорема 9. Всякое аффинное преобразование плоскости представимо в виде композиции движения и двух сжатий ко взаимно перпендикулярным прямым.

Доказательство. Дано аффинное преобразование f. Выберем произвольную точку O и обозначим через p и q взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через эту точку в главных направлениях. На прямых p и q выберем точки A и B. Обозначим f(A)=A, f(B)=B, f(C)=C, Существует движение g, переводящее , переводящее лучи OA и OB соответственно в лучи OA и OB. Рассмотрим сжатие τ₁ к прямой OB с коэффициентом и сжатие τ₂ к прямой OA с коэффициентом . Тогда τ₂◦ τ₁◦ g (O)=O′, τ₂◦ τ₁◦ g (A)=A′, τ₂◦ τ₁◦ g (B)=B′. По теореме 6 получим f = τ₂◦ τ₁◦ g

Теорема 10. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение площадей фигур.

Доказательство. Воспользуемся предыдущей теоремой. Движение не изменяет площадей фигур, а при каждом сжатии площадь умножается на коэффициент сжатия. Следовательно, все площади умножаются на одно и то же число – произведение коэффициентов сжатия.

п.5. Применение аффинных преобразований к решению задач

Аффинные преобразования удобно применять к решению задач, касающихся аффинных свойств фигур – свойств, сохраняющихся при аффинных преобразования х. К таким свойствам относятся прямолинейное расположение точек, отношение отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, отношение площадей фигур. Например, свойство отрезка быть медианой треугольника – аффинное, свойство быть биссектрисой или высотой – не аффинное.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Докажем, что во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение. Свойство фигуры быть трапецией, свойство точки быть серединой отрезка, свойство точек лежать на одной прямой – аффинные. Поэтому можно рассмотреть трапецию, для которой задача решается проще всего. Очевидно, такой трапецией является равнобедренная трапеция. Проведём доказательство подробно.

Пусть дана трапеция ABCD, E и F – середины оснований, G – точка пересечения диагоналей, H - точка пересечения продолжений боковых сторон (рис.21). Существует аффинное преобразование f, переводящее треугольник ABH в некоторый равнобедренный треугольник A′B′H′ (теорема 6). Образы точек C, D, E, F, G обозначим C′, D′, E′, F′, G′. Четырёхугольник A′B′C′D′– равнобедренная трапеция. Прямая E′H′– ось симметрии треугольника A′B′H′ и трапеции A′B′C′D′, поэтому точки E′,G′,F′,H′– лежат на одной прямой. При преобразовании f ^-1 треугольник A′B′H′ перейдёт в треугольник ABH, а точки E′, F′, G′– в точки, лежащие на одной прямой как образы точек E,F,G, лежащих на одной прямой.

Задача 2. Докажем, что середины всех параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.

Решение. Дан эллипс E. Существует аффинное преобразование f, переводящее эллипс в некоторую окружность s , а параллельные хорды эллипса – в параллельные хорды окружности, середины хорд эллипса – в середины хорд окружности. Середины хорд окружности, как известно, лежат на диаметре, перпендикулярно этим хордам. При преобразовании f ^-1 окружность s перейдёт в эллипс E, а прямая, содержащая середины хорд окружности – в прямую, содержащую середины хорд эллипса.

Задача 3.Вычислим площадь эллипса с полуосями a и b

Решение. Выберем декартову систему координат так, чтобы эллипс

задавался уравнением

Аффинное преобразование , переводит эллипс в окружность, заданную уравнением x²+y²=a² Площадь ограниченного ею круга равна πa². Круг получился из эллипса двумя сжатиями с коэффициентами и . Поэтому для площадей эллипса (Е) и круга (К) выполняется равенство: Следовательно, (Е) = πab.

Задача 4.Дан параллелограмм. Одна из вершин треугольника лежит в вершине параллелограмма, две другие – в серединах сторон, сходящихся в противоположной вершине параллелограмма. Вычислите отношение площадей этого треугольника и параллелограмма.

Решение. Все параллелограммы аффинно эквивалентны вместе с вписанными указанным образом треугольниками. Поэтому для решения можно выбрать любой параллелограмм. Очевидно, что проще всего провести вычисления для квадрата. Простой взгляд на рисунок 22 показывает, что искомое отношение 3:8.

Замечание. Аффинное преобразование определяется свойствами, установленными теоремами 3 и 7. Можно дать другое определение аффинного преобразования, а именно: аффинным преобразованием плоскости (пространства) называют отображение плоскости (пространства) в себя, переводящее любые три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие на одной прямой, и сохраняющее отношение расстояний между ними. Такое определение часто даётся в литературе. Из этого определения можно получить формулы, задающие аффинное преобразование в аффинных координатах.

Можно отказаться от требования сохранения отношения расстояний между точками, лежащими на одной прямой. Достаточно потребовать сохранения прямолинейного расположения точек и взаимно однозначности отображения. Это определение равносильно двум предыдущим, но получение из него приведённых ранее теорем связано с некоторыми трудностями.

Ещё одно определение позволяет довольно просто получить все результаты этого параграфа. Отображение плоскости в себя называется аффинным преобразованием, если существуют такие аффинные системы координат ω и , что для любой точки M с координатами (x,y,z) в системе ω её образ f(M) имеет те же координаты в системе _.