§ 11. Классификация движений плоскости и пространства

п.1. Классификация движений плоскости

Оказывается, рассмотренными видами исчерпываются все движения плоскости.

Теорема 1. Всякое движение плоскости I рода есть или параллельный перенос, или поворот.

Доказательство. Всякое движение рода представимо композицией двух осевых симметрий. Если оси совпадают, то это – тождественное преобразование. Если оси параллельны – параллельный перенос, если оси пересекаются - поворот (теоремы 2,3 § 8).

Теорема 2. Всякое движение плоскости II рода есть или осевая симметрия, или композиция осевой симметрии и параллельного переноса параллельно оси.

Предварительно докажем лемму.

Лемма. Для любых лучей l и m существуют единственное движение плоскости I рода и единственное движение II рода, отображающие луч l на луч m .

Доказательство. Введём декартовы системы координат ω и ω*, принимая за положительные полуоси Ox и соответственно лучи l и m. Из теоремы подвижности плоскости следует, что существуют ровно два движения, отображающие луч l (положительную полуось Ox) на луч m (положительную полуось * ): одно из них - f - отображает положительную полуось Oy на положительную полуось другое - g - отображает эту полуось на отрицательную полуось При этом f=S_Ox◦g. Откуда следует, что движения f и g не могут быть представлены композициями симметрий одинаковой чётности. Значит, движения f и g– движения разного рода.

Доказательство теоремы 2. Дано движение второго рода. Нужно представить его композицией, указанной в теореме. Для этого, в силу леммы, достаточно выбрать какой-нибудь луч l и его образ m и найти нужную композицию, отображающую луч l на луч m.

Выберем точку A, образ которой f(A)=B не совпадает с точкой A. Такая точка существует, так как в противном случае f – тождественное преобразование и является движением первого рода. Обозначим f(B)=C. При движении F луч AB переходит в луч BC. Найдём композицию осевой симметрии и параллельного переноса, отображающую луч AB на луч BC. Возможны различные случаи взаимного расположения точек A, B, C. Рассмотрим их.

1. Точки A, B, C не лежат на одной прямой (рис.8).

Обозначим через D и E середины отрезков AB и BC. Рассмотрим симметрию S_DE и обозначим S_DE(A)=A′, S_DE (B)=B′. При параллельном переносе точка A′ переходит в точку B, точка B′ – в точку C. Таким образом, T_DE◦ S_DE(A)=(B), T_DE ◦S_DE(B)=(C). Следовательно, композиция T_DE ◦S_DE отображает луч AB на луч BC. Так как эта композиция есть движение второго рода , то по лемме f = T_DE ◦S_DE.

2. Точки A, B, C лежат на одной прямой, и точка B лежит между точками A и C (рис. 9). Тогда луч AB отображается на луч BC композицией S_AB ◦T_AB.

3. Точки A и C совпадают. Обозначим через p серединный перпендикуляр отрезка AB. Луч AB отображается на луч AC симметрией S_p, и f=S_p.

Очевидно, что композиция осевой симметрии и переноса вдоль оси коммутативна. Она называется скользящей симметрией.

Теоремы 1 и 2 носят имя французского математика Шаля (1793 – 1880), доказавшего их.

Задача. Дано преобразование плоскости

1. Докажите, что это движение и определите его вид.

2. Найдите: а) все неподвижные точки; б) все инвариантные прямые;

в) образ и прообраз точки М (0,1); г) образ и прообраз прямой: x+ y –1 = 0; д) обратное преобразование.

Решение. 1.Так как то это движение. Так как то это движение II рода.

Значит, f – осевая симметрия или скользящая симметрия. Осевая симметрия имеет прямую неподвижны точек, скользящая симметрия не имеет неподвижных точек. Нужно выполнить задание а).

2. а) Неподвижные точки задаются системой уравнений:

, или

Множество неподвижных точек есть прямая p:

f = S_p

б) Инвариантные прямые осевой симметрии – это, очевидно, ось и все прямые, перпендикулярные оси.

в) Координаты точки f(M)=M вычисляются по формулам, задающим движение. Получаем: . Если точка M есть образ M при симметрии, то точка M есть образ M при симметрии. Значит, точка M есть образ и прообраз точки M.

г) Точно так же образ прямой при симметрии является её прообразом. Уравнение прообраза l

.

После упрощения получаем: 17x – 31y – 4 = 0.

д) Преобразование, обратное осевой симметрии, есть эта симметрия.

Задача. Дано преобразование плоскости f:

1. Докажите, что это движение и определите его вид.

2. Найдите: а) все неподвижные точки; б) все инвариантные прямые;

в) обратное преобразование.

1. Матрица преобразования f ортогональна, и её определитель отрицателен. Следовательно, преобразование есть движение второго рода – осевая или скользящая симметрия. Чтобы узнать, какая симметрия, найдём множество неподвижных точек.

2. а) Множество неподвижных точек будем искать из системы , или Эта система несовместна, следовательно, неподвижных точек нет. Значит, преобразование f есть скользящая симметрия.

б) Осью скользящей симметрии является инвариантная прямая. Найдём её.

Пусть прямая p: Ax + By + C = 0 – инвариантна. Тогда, если её уравнению удовлетворяют координаты точки M, то этому уравнению удовлетворяют и координаты её образа - точки f(M)=M. То есть должно выполняться равенство Ax + By + C = 0.

Подставляя в последнее уравнение значения координат x, y, получим:

,

или

(7A+24 B)x +(24A – 7B)y + 100A -75B +25C = 0.

Это уравнение равносильно данному уравнению прямой p, поэтому выполняются равенства:

(*)

Решая эту систему относительно A, B, C, получим:

7AB+24 B²=24A² – 7AB (**)

Очевидно, что В = 0 не может быть решением (это значило бы, что инвариантна прямая p: , т.е. при любых значениях y значение x постоянно). Поэтому уравнение (**) равносильно уравнению

Это уравнение имеет корни:

1. и 2. Рассмотрим эти случаи.

1. Положим А = 4, В = 3. Тогда

и или 175 + 25С = 25С, т.е. 175=0. Следовательно, равенство не определяет инвариантную прямую.

2. . Положим А = 3, В = – 4.

Тогда и ,

300 + 300 + 25С = –25С, С = – 12.

Инвариантная прямая p задаётся уравнением 3x –4y –12 = 0.

Таким образом, движение есть скользящая симметрия с осью p . Определим вектор переноса, параллельный этой прямой. Для этого возьмём любую точку М на оси и её образ М. Вектор есть вектор переноса. Выберем М(4,0). Тогда и

Движение f = S_p,

п.2. Классификация движений пространства

Приведём без доказательства теоремы о классификации движений пространства.

Теорема 1. Всякое движение пространства первого рода, имеющее неподвижную точку, есть поворот вокруг прямой, проходящей через эту точку.

Теорема 2. Всякое движение первого рода, не имеющее неподвижных точек, есть композиция поворота вокруг некоторой прямой и параллельного переноса вдоль этой прямой (винтовое движение).

Теорема 3. Всякое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, есть композиция поворота вокруг некоторой прямой и симметрии относительно плоскости, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно этой прямой (зеркальный поворот).

Теорема 4. Всякое движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть композиция симметрии относительно некоторой плоскости и переноса в направлении, параллельном этой плоскости (скользящее отражение).

Легко видеть, что композиции, указанные в теоремах 2,3,4, коммутативны.

п.3. Применение движений к решению задач

Идея применения метода преобразований к решению задач состоит в том, что некоторую фигуру заменяют другой, полученной из первой с помощью какого-нибудь преобразования. А затем, используя вместе с данной ещё и построенную фигуру, получают требуемый результат.

Осевую (центральную) симметрию обычно применяют в случаях, когда рассматриваемые фигуры симметричны относительно некоторой прямой (точки) или имеют ось (центр) симметрии. Иногда с помощью осевой симметрии "распрямляют" ломаную, например, если нужно найти такое её положение, при котором она имеет наименьшую длину.

В задачах, где есть правильные многоугольники, часто используют повороты вокруг центра многоугольника или его вершины. В последнем случае обычно выбирают угол поворота, равный углу многоугольника.

Если нужно доказать параллельность прямых, могут оказаться полезными параллельный перенос или центральная симметрия. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах ВА и ВС взяты соответственно точки М и Р так, что АМ=РС. Докажите, что прямые АР и МС пересекаются в точке, лежащей на высоте треугольника.

Решение. Пусть ВН - высота треугольника АВС. (рис.10) Очевидно, что при симметрии относительно ВН точка А отобразится в С, N - в M, а потому AР = S_вн(MC), но тогда точка пересечения AР и MC принадлежит оси симметрии BH.

Пример. В параллелограмм АВСD вписан параллелограмм MNPQ так, что на каждой стороне первого лежит одна вершина второго. Докажите, что их центры совпадают.

Решение. Пусть О – центр параллелограмма MNPQ и пусть М принадлежит отрезку АВ, Р – отрезку CD (рис.11). Рассмотрим симметрию S_o. Тогда S_o(M)=P и прямая АВ отображается на прямую, проходящую через точку Р и параллельную АВ, т.е. на CD. Аналогично S_o(BC)=AD, а потому О – центр симметрии ABCD.

Пример. Через центр O квадрата ABCD проведены две взаимно перпендикулярные прямые l₁ и l₂, пересекающие стороны данного квадрата в точках M, P и N, Q соответственно (рис.12). Докажите, что четырёхугольник MNPQ – квадрат.

Решение. Рассмотрим поворот вокруг точки O на прямой угол. При этом квадрат отобразится на себя, а прямая l₁ – на прямую l₂, точки {M,P} пересечения квадрата и прямой l₁ отобразятся на точки пересечения их образов – прямой l₂ и квадрата, т.е. на точки {N,Q}. А это означает, что диагонали четырёхугольника MNPQ равны и точкой О делятся пополам. А так как они (по условию) взаимно перпендикулярны, то MNPQ –квадрат.