3.5. Контрольные вопросы

1. Какое движение называют гармоническим колебательным движением?

2. Что называют логарифмическим декрементом затухания, коэффициентом затухания и коэффициентом сопротивления?

3. Какими уравнениями определяются гармоническое колебательное движение, скорость и ускорение гармонического колебания?

4. Дайте определение всех величин, входящих в уравнение гармонического колебательного движения.

5. Какое движение называют колебательным, периодическим?

6. При каких условиях возможно колебательное движение?

7. Какие колебания называются затухающими и вынужденными колебаниями. Что такое резонанс?

8. При гармоническом колебании в каком положении тела максимальна: а) кинетическая энергия; б) потенциальная энергия.

9. Чему равна полная энергия колеблющегося тела?

10. Напишите уравнение затухающего колебания. Объясните входящие в него величины.

Лабораторная работа №4

Определение момента инерции твердого тела

Цель работы: ознакомиться методикой определения момента инерции твердого тела.

Оборудование: установка для определения момента инерции твердого тела, секундомер, штангенциркуль, линейка.

4.1. Теоретическое обоснование работы

Представим некоторое твердое тело массой m, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. Условно разобьем его на отдельные бесконечно малые элементы с массами dm, вращающиеся около выбранной оси с общей для тела скоростью . Если расстояние от одного из таких элементов до оси вращения R_i, то его кинетическая энергия:

W_i = dmv²/2 = dmR_i²²/2.

Просуммировав энергии всех элементов, на которые было разбито тело, получим кинетическую энергию всего вращающегося тела по формуле:

.

Здесь величина

(4.1)

называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции является количественной мерой инертности вращающегося тела.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле:

W = J ² /2. (4.2)

Расчет момента инерции по формуле (4.1) для тел правильной геометрической формы приводит к простым выражениям:

для сплошного диска (маховика) с массой M_м и радиусом R_м:

J_м = M_м R_м² / 2; (4.3)

для кольца:

, (4.4)

где R – внешний радиус кольца, r – внутренний радиус кольца.

Момент инерции маховика с кольцом будет равен сумме их моментов инерции, т.е.

J = J _k + J _м. (4.5)

Предположим, что на вращающееся около некоторой оси твердое тело с моментом инерции J действует постоянный вращающий момент M, который равен сумме моментов сил, действующих на тело. Под действием этого вращающего момента твердое тело приобретает угловое ускорение

 =M/ J.

Откуда

М=J . (4.6)

Это равенство называют основным уравнением динамики вращательного движения.

4.2. Описание лабораторной установки

Установка для определения момента инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, представляет собой металлический диск 1 радиуса R и массы M_м, который может вращаться вокруг неподвижной оси ОО^/ под действием падающего груза 3 массой m_г. Груз в виде гири подвешивается к нити, второй конец которой закреплен на шкиве 2, вращающейся вместе с диском (рис. 4.1).

Для определения момента инерции тел относительно оси вращения, пользуются динамическим методом, основанным на применении уравнения вращательного движения :

J = M/ . (4.7)

Cилой трения в подшипниках оси и сопротивлением воздуха пренебрегаем. Если F - сила, вызывающая вращение, r – ее плечо (оно равно радиусу цилиндрической поверхности шкива, на которую наматывается нить), то согласно второму закону Ньютона, величина силы, вызывающей равноускоренное движение груза в данном случае

F = m(g - a_ ) (4.8)

(здесь a_ - касательное ускорение точки на цилиндрической поверхности шкива).

Рисунок 4.1 – Схема к исследованию момента инерции твердого тела:

1 – диск; 2 – шкив; 3 – груз

Считая нить нерастяжимой и исключая ее проскальзывание по шкиву, можно принять, что ускорение точки на цилиндрической поверхности шкива равно по величине ускорению опускающегося груза. Тогда для случая равноускоренного падения груза:

a_ = 2h/t² , (4.9)

где h - высота падающего груза, t - время падения.

Угловое ускорение диска со шкивом

 = a_ / r. (4.10)

Подставляя равенства (4.8 – 4.10) в (4.7) получим:

, (4.11)

где m_г = 0,75 кг.

По формуле (4.11) получим экспериментально момент инерции J диска со шкивом.

Этот момент инерции можно определить и другим путем – складывая моменты инерции диска и шкива, т.е. по формуле:

J = J _м + J_шк = M_мR²_ср /2 + m_шк r²_ср /2 , (4.12)

где М_м=15,8 кг, m_шк=0,2 кг.