5. Аксиомы вывода, rap-последовательность вывода. Примеры вывода функциональных зависимостей.

При декомпозиции исходные отношения опираются не на все ФЗ, а только на те, которые являются подмножеством так называемого минимального покрытия. Чтобы осуществить переход от множества ФЗ к минимальному покрытию необходимо установить избыточные ФЗ. Пусть дано множество ФЗ F на схеме R. При этом X и Y принадлежат данной схеме. ФЗ XY избыточна, если она следует из множества: F – (XY).

Для вывода ФЗ используются правила вывода или аксиомы вывода.

Аксиомы Армстронга:

1. Рефлексивность: XX (F1);

2. Пополнение: если XY, то XZY (F2);

3. Аддитивность: если XY, XZ, то XYZ (F3);

4. Проективность: если XYZ, то XY, XZ (F4);

5. Транзитивность: если XY, YZ, то XZ (F5);

6. Псевдотранзитивность: если XY, YZW, то XZW (F6).

Из всех представленных 6 аксиом, 3 являются независимыми (F1, F2, F6), а остальные можно вывести на основании этих. При выводе одних ФЗ на основании других, выстраиваются цепочки ФЗ полученных на основании аксиом вывода. Их называются выводы.

ß-аксиомы:

1. Рефлексивность: XX (ß1);

2. Накопление: если XYZ, ZCW, то XYZCW (ß2);

3. Проективность: если XYZ, то XZ (ß3).

На основании β - аксиом так же, как и на основании аксиом Армстронга, осуществляется вывод одних функциональных зависимостей из других. Поскольку названия β - аксиом имеют на английском языке следующее написание:

R eflexiviti,

A ccum ulation,

P rojectivity,

то по первым буквам этих названий получили название последовательности вывода, выполняемые с помощью β - аксиом RAP последовательности.

Порядок построения RAP последовательности вывода.

• Первая функциональная зависимость получается путем применения аксиомы β 1.

• Каждая последующая функциональная зависимость вычисляется из предыдущих функциональных зависимостей путем применения аксиомы β 2, или вводится из исходного множества функциональных зависимостей, или генерируется на основании аксиомы β 1.

• На последнем шаге вывода может быть применена аксиома проективности β 3.

Ниже приведен пример построения RAP последовательности вывода, позволяющей доказать, что если имеют место функциональные зависимости X>Y, Y->Z, то будет иметь место и функциональная зависимость X->Z.

№	ФЗ	Основание
1	XX	1
2	X-Y	Дано
3	XXY	Накопление (2)
4	YZ	Дано
5	XXYZ	Накопление (2)
6	XZ	Проективность (3), это и требовалось доказать

6. Классификация покрытий.

Покрытие – это эквивалентные множества ФЗ. При этом, под эквивалентным множеством понимают такие множества F1 и F2 на схеме R, когда они взаимообратные, т.е., из множества F1 путем применения аксиом вывода, может быть получено F2, а из множества F2, аналогичным способом, может быть получено обратное множество F1.

Различают следующие покрытия:

1. Неизбыточное – покрытие, которое не содержит избыточных ФЗ. У каждого множества ФЗ может быть несколько неизбыточных покрытий. Вид неизбыточного покрытия во многом определяется порядком, в котором ФЗ проверяются на избыточность. F={AB, AC, ABC}. Получаем не избыточные покрытия: F1={AB, AC} или F2={ABC}.

Алгоритм получения:

• выбирается ФЗ из исходного множества ФЗ (любая) и проверяется ее возможность получения их оставшихся элементов множества ФЗ с помощью аксиом вывода;

• если выбранная ФЗ не следует из оставшихся элементов множества ФЗ, то она оставляется в исходном множестве;

• если вывод ФЗ возможен, то она удаляется. Вывод продолжается до тех пор, пока не будет проверена каждая ФЗ.

Минимальное – неизбыточное покрытие, содержащее наименьшее количество ФЗ. Их так же может быть несколько. Если рассматривать ФЗ F1 и F2 - они оба не избыточные, но минимальным среди них является только F2. На нем осуществляют декомпозицию.

Редуцированное – множество, содержащее в себе только редуцированные ФЗ. ФЗ называется редуцированной, если она слева и справа не содержит посторонних атрибутов. Н-р, F3={AB, ABC}. ФЗ ABC, содержит лишний атрибут в левой части – B. Т.о., покрытие F4={AB, AC} – является редуцированным, но не минимальным.

Алгоритм получения:

• удаляются посторонние атрибуты из левой части ФЗ;

• удаляются все посторонние атрибуты из правой части ФЗ;

• удаляются все ФЗ вида: «A0»