Элементы комбинаторики

Факториал n! = n × (n - 1) × (n – 2) × (n - 3) ×…× 2 × 1; 0! = 1.

Перестановки P _n = n!

Пример. Сколькими способами можно разместить на полке три книги?

В данной задаче необходимо найти число перестановок из четырех элементов. Существует четыре варианта выбора первой книги. Далее остается три варианта выбора второй книги, два варианта третьей книги и один способ выбора четвертой книги.

Таким образом, число способов N разместить четыре книги на полке равно произведению чисел 4, 3, 2 и 1, т. е.

способа.

Определение. Размещениями из n элементов по k (n³k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом или порядком.

Пример. Сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторений, можно составить из 32 букв русского алфавита?

В данной задаче необходимо найти число размещений из 32 элементов по 2 по формуле (3):

двухбуквенных комбинаций.

По данным «Словаря русского языка» из этих 992 комбинаций только 114 являются словами. Например, да, ад, еж, яр и т. д.

Определение. Сочетаниями из n элементов по k (n³k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом. .

Пример. В соревновании участвуют 12 спортсменов. Сколькими способами можно выбрать трех из них для участия в первом забеге?

При выборе трех спортсменов из двенадцати порядок, в котором их будут выбирать, не играет роли, поэтому число способов, которыми можно выбрать трех из них, для участия в первом забеге найдем с помощью формулы (5):

способов.

.

Пример. В урне 5 белых и 6 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать два шарика одного цвета?

В данной задаче необходимо найти число способов N, которыми можно выбрать 2 белых шара из 5 белых шаров или 2 красных шара из 6 красных шаров. Учитывая, что 2 элемента из 5 можно выбрать числом способов равным , а 2 элемента из 6 можно выбрать числом способов равным и используя формулу (5), имеем:

способов.

Пример. В столовой предлагают два вида первых блюд, три вида вторых блюд и два вида десерта. Сколькими способами можно составить обед из трех блюд?

Обозначим множество первых блюд через А, вторых – В и третьих – С. Обозначив число способов, которыми можно составить обед из трех блюд через N и используя правило произведения, получим:

N = 2 × 3 × 2 = 12 способов.

Пример. В урне 3 красных и 4 синих шариков. Сколькими способами можно выбрать четыре шарика так, чтобы два из них были красными, а два - синими?

Обозначим множество красных шариков через А, синих – В. Обозначив число способов, которыми можно выбрать два красных шарика из множества А и два синих шарика – из множества В, через N и используя правило произведения, получим:

способов.

Пример. В урне 5 красных, 7 белых и 4 зеленых шарика. Сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными?

Обозначим множество красных шариков через А, белых – В, зеленых - C. Вопрос, поставленный в задаче можно сформулировать следующим образом: сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы было два красных шарика и один белый или два красных шарика и один зеленый или три красных шарика.

Обозначив число способов, которыми можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными через N и, используя правила суммы и произведения, получим:

.