4. Найдите площадь поверхности шара радиусом 3м. Какой объем имеет такой шар?

Решение:

5. Найдите радиус земного шара и площадь поверхности Земли. (Радиус найдите с точностью до 100 км.)

6. На рынке был куплен арбуз массой: а)10 кг; б)16 кг.

Какие примерно у него радиус и площадь поверхности?

Решение.  (Арбуз на 99% состоит из воды, 1 дм³ который имеет массу 1 кг)

Комментарий. Арбуз практически полностью состоит из воды, поэтому можно считать, что его масса 10 кг и, следовательно, объем 10 дм³.

Будем искать радиус шара объемом 10 дм³ :

10=4/3R³≈4/3*3,14*R³ ≈4R³.

Найдем R из уравнения 10=4R³; R³=2,5.

Подберем значение R с точностью до 1см.

R, дм	1,1	1,2	1,3	1,4
R3, дм3	1,331	1,728	2,197	2,744

Из таблицы видно, что радиус арбуза больше 13см, но меньше 14см. За приближенное значение радиуса можно взять любое из этих чисел,

например, 13. По формуле площади сферы найдем S=413²≈43,14169 ≈2100(см²). Ответ: радиус арбуза 13 см, площадь его поверхности 2100 см².

7. Представьте себе, что земной шар один раз опоясан по экватору верёвкой. Эту веревку разрезали, прибавили к ней 1 метр и снова растянули в окружность вокруг Земли так, что центр окружности совпадает с центром Земли (так, как показано на рисунке). Пройдет ли в образовавшийся зазор апельсин?

б)Представьте себе, что теперь опоясали футбольный мяч, затем прибавили к верёвке 1 метр, так же как в пункте (а) растянули вокруг мяча и снова пытаются просунуть апельсин. Пройдет?

в)Ту же самую процедуру проделали с шариком для настольного тенниса. Образовался зазор между шариком и веревкой, к которой прибавлен 1 метр. Пройдет ли в зазор апельсин?

Решение. Пусть r — радиус земного шара, или футбольного мяча, или теннисного шарика, R — радиус окружности растянутой верёвки, l — длина экватора. Тогда длина верёвки равна l + 1, а величина зазора равна R − r. По формуле длины круга l = 2πr, l + 1 = 2πR, откуда R − r = ¹/_2π ≈ 16 см. Эта величина не зависит от исходной длины окружности и достаточна для того, чтобы протащить апельсин.

2.2.Компьютерная программа вычисления объема шара

При работе над задачами мы столкнулись со сложными вычислениями, и подумали: как можно их упростить? Мы решили написать компьютерную программу, позволяющую не только вычислять объем любого шара, зная радиус, но и выполнять построение самого шара.

2.3.Объем кольца.

На плоскости шаром является круг. Как вы все хорошо знаете, площадь круга радиуса R равна π•R². Чтобы посчитать площадь кольца, нужно из площади большого круга вычесть площадь неиспользуемого маленького —

S_кольца = π • (R²-r²).

Аналогично с шаром. Для подсчета объема «дырявого» шара, необходимо из всего объема вычесть объем «дырки»:

V = π • (R³-r³).

И так как все зависит от радиуса, да еще в квадрате, то, чем ближе к большему радиусу описано кольцо, тем больше, при той же ширине, его вклад в площадь.

В нашем трехмерном пространстве объём шара зависит от радиуса, возведенного в третью степень. А значит, и рассматриваемый эффект становится еще более выраженным: большая часть объёма шара сосредоточена рядом с границей!

Чего больше по объёму в этом апельсине — кожуры или мякоти? Кожура занимает, казалось бы, не очень толстый слой, но он расположен рядом с границей шара. И его объём на приведенном рисунке равен объему всей вкусной части апельсина. Покупая апельсин с толстой кожурой, по объёму Вы приобретаете в основном кожу.