Глава 1. История изучения объемов тел

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Уже в древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объемов тел. И только Архимеду удалось найти общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Архимед (ок. 287-212 до н. э.) - величайший ученый Древнего мира. Имя его овеяно легендами. Мы восклицаем: "Эврика!" - выражая, как Архимед, восторг по поводу своей удачи.

1.1 Что такое объем?

       Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см³ и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см³.

Глава 2. Шар.

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера- разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. В древности сфера была в большом почете. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Мы сравнили два объекта: знакомый нам круг и неизвестный шар. Оказалось, что оба они содержат внешнюю оболочку: окружность и сферу; оба имеют радиус и диаметр; а также центр. Если они так похожи, то вероятно имеют схожие формулы для вычисления площади и объема?

	Круг, окружность	Шар, сфера
Диаметр	d = 2 r	D = 2 R
Длина окружности	С = 2 π r	С = 2 π R
Площадь	S = π·r2	Sсферы = 4π·R2
Объем	---	Vшара = 4/3π·R3

2.1. Задачи.

№1

Найти площадь заштрихованной части фигуры:

4,5π; π.

Установите, истинны или ложны высказывания:

1) Длину окружности можно вычислить по формуле С = πD, где D – радиус окружности.

Необходимость решать задачи на вычисление длины окружности, площади круга возникает в различных областях нашей жизни.

1. Об Архимеде. … Древнегреческий математик Архимед установил, что длина окружности относится к длине диаметра примерно как 22 : 7. Найдите длину окружности, если длина диаметра 4,2 дм. Решение.  ; ; с =  = 22 · 0,6 = 13,2 (дм)

Ответ: 13,2 дм.

2. «Авария на промышленном объекте». Чистый воздух – самый главный и незаменимый продукт, им «питаются» все живые организмы. Природа способна к самоочищению, но огромное количество отходов и выбросов от комбинатов и заводов не может нейтрализовать даже природа! Особую опасность для человека представляют летучие ядовитые вещества, такие, как хлор. На одном химическом заводе г. Тобольска произошла авария ёмкости с хлором. Хлор в безветренную погоду стелется по земле, занимая участок поверхности в форме круга. Радиус заражённой зоны 250 м. Что нужно знать, чтобы принять меры?

Ѕ – площадь заражённой зоны.

Длину верёвки для ограждения, т.е. С. Решение. 

1. Ѕ = πr²; r = 250 м; π = 3,14; Ѕ = 3,14 ·250² = 3,14 · 62500 = 196250(м²)=

=19,625 га ≈ 20 га. 2. С = 2 πr; С = 2 · 250 · 3,14 = 500 · 3,14 = 1570 м.

Ответ: 20 га; 1570 м.

3. О Тунгусском метеорите, 1908 г. Диаметр опалённой площади тайги от взрыва Тунгусского метеорита равен примерно 38 км. Какая площадь тайги пострадала от метеорита? Решение.  Ѕ = πr²; d = 38 км; π 3 R = 38 : 2 = 19(км) Ѕ = 3 · 19² = 3 · 361 = 1083 (км²). Ответ: 1083 км².