2 Регрессионные модели исследования зависимостей экономических показателей

Одно из основных назначений эконометрических моделей состоит в исследовании на основе эмпирических данных зависимостей между экономическими показателями. Используя эконометрические модели, можно оценить величину зависимости, ее надежность и форму связи. Выявление стати­стически значимой связи между показателями способно повысить эффективность воздействия управ­ляющих параметров на развитие экономического объекта. Например, определение статистически значимых факторов инфляции позволяет углубить понимание природы инфляционных процессов в экономике и на этой основе выработать эффективные мероприятия антиинфляционной политики. На уровне предприятия в результате изучения факторов, влияющих на объемы продаж, можно статисти­чески оценить сравнительную силу влияния расходов на рекламу и фактора снижения цены на про­дукцию и, как следствие, определить эффективные мероприятия по увеличению объема продаж.

Наиболее простым и часто используемым видом эконометрических моделей выступает регрес­сионная модель.

1 Экономическая постановка задачи.

Пусть x — объем выплат стимулирующего характера, y — фонд заработной платы работников. Построим модель зависимости фонда заработной платы работников от объема выплат стимулирующего характера и сделаем прогноз фонда заработной платы работников на 2010 год.

В таблице 2 представлены данные фонда заработной платы работников и объем выплат стимулирующего характера на предприятии за 2004—2008 гг.

Таблица 2 — Данные о динамике показателей за 2004—2008 гг.

Год	Объем выплат стимулирующего характера млн. руб. (Х)	Фонд заработной платы работников млн. руб. (У)
2004	922,8	3690,7
2005	1267,9	5242,2
2006	1694,3	6364,2
2007	2097,3	7466,7
2008	2497,9	8870,0

Основная цель изучения зависимостей между переменными заключается в прогнозе с данной вероятностью значений области изменения одной случайной величины на основании наблюденных значений другой случайной величины.

При оценке связи между фондом заработной платы работников и объемом выплат стимулирующего характера необходимо ответить на вопросы:

- связаны ли между собой переменные;

- определить функцию этой зависимости;

- рассчитать прогнозные значения этих показателей.

2 Системный анализ и синтез.

Для ответа на поставленные вопросы существуют специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом (и с определенной вероятностью) свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными. В первом случае это коэффициент корреляции величин x и y, во втором случае — коэффициенты линейной регрессии a и b, их стандартные ошибки и t-статистики, по значениям которых проверяется гипотеза об отсутствии связи величин x и y.

В качестве меры для степени линейной связи двух переменных используется коэффициент их корреляции. Формула расчета выборочного коэффициента корреляции величин x и y, который рассчитывается по данным выборки, имеет вид

(1)

где — коэффициент корреляции;

— среднее значение произведения величин используемых

показателей;

— среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве

независимой переменной;

— среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве

зависимой переменной;

— среднеквадратическое отклонение величины x;

, (2)

— среднеквадратическое отклонение величины y.

(3)

n — число значений переменных.

Если переменные независимы, то коэффициент корреляции близок нулю и наоборот. Далее для оценки тесноты связи этих переменных воспользуемся данными таблицы 3.

Таблица 3 — Оценка тесноты связи переменных

Величина коэффициента корреляции	0,1…0,3	0,3…0,5	0,5…0,7	0,7…0,9	0,9…0,99
Теснота связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	весьма тесная

Чтобы определить уравнение линейной регрессии и его коэффициенты, используется метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции, который называется методом наименьших квадратов. Коэффициенты линейной регрессии

у = ах + b определяются из системы уравнений

Коэффициенты а и b определяются по формуле

(4)

. (5)

Уравнение функциональной зависимости можно найти, используя функции «НАКЛОН» и «ОТРЕЗОК» в прикладной программе Excel.

Функция «НАКЛОН» позволяет определить значение a, т. е. наклон линии линейной регрессии. Функция «ОТРЕЗОК» позволяет определить значение свободного члена линейной регрессии b.

Так как для генеральной совокупности выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной, то для нее он может быть равен нулю. Для проверки гипотезы о равенстве коэффициента корреляции для генеральной совокупности нулю используют t-статистику (имеющая распределение Стьюдента (n-2) степенями свободы), рассчитываемая по формуле

(6)

где — расчетная величина критерия Стьюдента;

— коэффициент корреляции;

n — число значений переменных.

Для проверки нулевой гипотезы находят по таблице Стьюдента (таблица 4) критическое значение t_табл при заданной доверительной вероятности Р = 0,95 или P = 0,99 и числе степеней свободы υ = n – 2. Далее необходимо сопоставить критическое значение t_табл с определенным по выборочным данным значение t-статистики. Если расчетная величина t-критерия окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если же расчетное значение критерия меньше, чем табличное, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

Таблица 4 — Критические значения критерия Стьюдента tk (Р, υ)

Число степеней свободы υ = п – 2	Доверительная вероятность tк ( р, υ )
	90	95	99	99.9
1	6.314	12.71	63.66	636.6
2	2.920	4.303 '	9.925	31.60
3	2.353"	3,182	5.841	12.94
4	2.132	2.776	4.604	8.610
5	2.015	2.571	4.032	6.859
6	1.943	2.447	3.707	5.959
7	1.895	2.365	3.499	5.405
В	1.860	2.306	3.355	5.041
9	1.833	2262	3.250	4.781
10	1.812	2.228	3.169	4.587
12	1.782	2.179	3.055	4.318
14	1.761	2.145	3.977	4.140
16	1.746	2.120	2.921	4.015
18	1.734	2101	2.878	3.922
20	1.725	2.086 .	2.845	3.849
22	1.717	2.074	2.819	3.792
24	1.711	2.064	2.797	3.745
26	1.706	2.056	2.779	3.707
30	1.697	2.042	2.750	3.646
40	1.684	2.021	2.704	3.551
50	1.676	2.009	2.678	3.495
100	1.660	1.984	2.626	3.389
200	1.653	1.972	2.601	3.339
500	1.648	1.965	2.586	3.310
∞	1.645	1.960	2.576	3.291