Задача 4

Ток источника в цепи (см. рисунок) i(t) = I_msint, где I_m = 5 А;  = 314 с^–1; вебер-амперная характеристика (i) нелинейной индуктивности аппроксимирована степенным полиномом (i) = ai + bi³, где а = 610^–2, b = –610^–4; [] = Вб; [i] = A.

Определить значение емкости линейного конденсатора, при которой действующее значение напряжения u(t) минимально. Определить u(t) в этом режиме.

Р ешение

1. Рассматриваемая цепь (см. рисунок) описывается уравнением на основании второго закона Кирхгофа:

u(t) = u_L(t) + u_C(t), (1)

где

u_L(t) = ; (2)

u_C(t) = . (3)

2. Временнáя зависимость потокосцепления нелинейной индуктивности с учетом аппроксимирующего выражения вебер-амперной характеристики:

(t) = ai(t) + bi(t)³ = aI_msint + b = aI_msint +

+ b = . (4)

3. Напряжение на зажимах нелинейной индуктивности, как следует из уравнения (2) c учетом (4),

= . (5)

4. Напряжение на линейном конденсаторе:

u_C (t) = = . (6)

5. Напряжение на зажимах источника тока (см. уравнение (1)):

u(t) = u_L(t) + u_C(t) = =

= =

= =

= . (7)

Из уравнения (7) следует, что напряжение на зажимах источника тока будет минимальным при u(t)⁽¹⁾ (что соответствует резонансу напряжений на первой гармонике), т.е. при

. (8)

Из условия (8) вытекает

С учетом резонанса на первой гармонике напряжение на зажимах источника тока определится выражением:

u(t) = =

= В.

Ответ: С = 208 мкФ; u(t) = – 17,65cost В.

Задачи для самостоятельного решения з адача 5

В цепи (рис. а) е(t) = E_msint, где E_m = 2000 В;  = 10⁵ с^–1. Линейное сопротивление r = 1000 Ом. Кулонвольтная характеристика нелинейного конденсатора представлена на рис. б, где q₀ = 10^–5 К.

Рассчитать и построить q(t), u_C(t), i(t).

Ответ: В интервале времени (0  t  T/4) u_C = 0, i(t) = 2sint (A), q(t) = – 210^–5cost + 10^–5 (К).

В интервале времени (T/4  t  T/2)

u_C = 2000sint, i(t) = 0, q(t) = 10^–5 (К).

З адача 6

Синусоидальное напряжение u(t) = 100sint (B) приложено к нелинейному резистивному сопротивлению (см. рисунок), вольт-амперная характеристика которого может быть аппроксимирована уравнением i = 0,3u + 0,04u², в котором [u] = B, [i] = A.

Рассчитать и построить i(t).

Ответ:

i(t) = 200 + 30sint – 200cos2t (A).

VIII. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

с использованием ЗАМЕНЫ

РЕАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

УСЛОВНО-НЕЛИНЕЙНЫМИ

(расчет с использованием действующих значений

эквивалентных синусоид)

Основные вопросы

1. Критерии замены несинусоидальных токов и напряжений эквивалентными синусоидами в цепях с нелинейными элементами.

2. Порядок расчета нелинейных цепей с условно-нелиней­ными элементами.

3. Вольт-амперные характеристики катушки со стальным сердечником и конденсатора с сегнетодиэлектриком.

4. Потери в стали и намагничивающая мощность.

5. Векторные диаграммы и схемы замещения нелинейной индуктивности и нелинейной емкости.

6. Феррорезонанс.

Литература

1. Зевеке г.В., Ионкин п.А., Нетушил л.В., Страхов с.В. Основы теории цепей. – м.: Энергия, 1989. – § 25.8 – 25.13.