Задача 2

В цепи (рис. а) ток источника электрической энергии i(t) = 4sint, где  = 1000 с^–1. Линейное сопротивление r = 5 Ом. Вебер-амперная характеристика (i) нелинейной индуктивности аппроксимирована ломаной dcab (рис. б), ₀ = 10^–2 Вб; I₀ = 2 А.

Р ассчитать и построить (t), u_L(t), u_ab(t).

Рис. к задаче 2

Решение

1. Графический расчет рассматриваемой цепи базируется на решении следующей системы нелинейных дифференциальных уравнений:

; (1)

. (2)

2. При t = 0 ток источника энергии i(0) = 4sin(0) = 0. Этому моменту времени соответствует точка 0 характеристики (i) нелинейного элемента (рис. б). Вебер-амперная характеристика (i) нелинейного элемента симметрична относительно начала координат. При периодическом изменении тока i(t) источника энергии в течение первой половины периода (в пределах которого i  0) рабочая точка режима перемещается из точки 0 в точку b и обратно из точки b в точку 0 вдоль участков 0a и ab (рис. б) вебер-амперной характеристики (i). В течение второй половины периода (в пределах которого i  0) рабочая точка режима перемещается из точки 0 в точку d и обратно из точки d в точку 0 вдоль участков 0c и cd вебер-амперной характеристики (i). Поскольку, в пределах одного полупериода рабочая точка дважды перемещается вдоль участков характеристики 0a и ab (или 0c и cd), искомые временные зависимости (t), u_L(t), u_ab(t) могут быть рассчитаны при рассмотрении лишь четверти периода, в пределах которого рабочая точка перемещается из точки 0 в точку b вдоль участков 0a и ab.

3. Определение (t), u_L(t), u_ab(t).

• На участке 0a (0  t  t₁) характеристика (i) представляется соотношением

 = .

С учетом того, что i(t) = 4sin1000t А,

(t) = 0,510^–2i(t) = 0,510^–24sint = 0,02sint Вб. (3)

Напряжение на зажимах нелинейной индуктивности в рассматриваемом интервале времени (см. уравнение (2))

= 0,02cost = 20cost В, а напряжение u_ab на зажимах источника тока (см. уравнение (1))

u_ab(t) = i(t)r + u_L(t) = 54sint + 20cost = 20 sin(t + 45º) В.

• На участке ab (t₁  t  T/2) характеристика (i) представляется выражением  = ₀ = 10^–2 Вб. Следовательно, в рассматриваемом диапазоне времени = 0, а напряжение на зажимах источника тока (см. уравнение (1)) u_ab(t) = = i(t)r = 54sint = 20 sint В.

• Определение времени t₁ перехода рабочей точки с участка 0a на участок ab вебер-амперной характеристики (i).

В точке a характеристики (i) (момент времени t₁) потокосцепление должно достигнуть значение (t₁) = ₀ = 10^–2 Вб. С учетом выражения (3),

(t₁) = 0,02sint₁ = ₀ = 10^–2 Вб. (4)

Из (4) следует

с.

• Характеристики (t), u_L(t), u_ab(t) представлены на рис. в.

Задача 3

На рис. а изображена схема однополупериодного выпрямителя переменного тока. Напряжение источника u(t)= 115 sint В, где  = 314 с^–1; Е₀ = 42 В; r =200 Ом. Вольт-амперная характеристика вентиля u_в(i) представлена на рис. б.

Рассчитать и построить u_r(t) и u_в(t).