Аппроксимации характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений

Основные вопросы

1. Суть метода кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений.

2. Использование для расчета нелинейных цепей аналитической аппроксимации характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зевеке г.В., Ионкин п.А., Нетушил л.В., Страхов с.В. Основы теории цепей. – м.: Энергия, 1989. – § 22.6, 25.4, 25.5.

2. Бессонов л.А. Теоретические основы электротехники. – м.: Высшая школа, 1978. – § 15.12, 15.20, 15.46, 15.51, 15.52.

3. Бессонов л.А. Нелинейные электрические цепи. – м.: Высшая школа, 1978. – § 5.1, 5.2, 8.21.

ПРИМЕРЫ

Задача 1

В цепи (рис. а) e(t) = 100sin1000t B; r₁ = r₂ = 1 кОм; кулонвольтная характеристика q_c(u_c) нелинейного конденсатора представлена на рис. б; q₀ = 10^–5 К.

Рассчитать и построить q(t), u_C(t), i(t).

Решение

1. Нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие цепь (см. рис. а):

i = i_r + i_c; (1)

e =ir₁ +u_C; (2)

u_C = i_rr₂; (3)

. (4)

2. Кулонвольтная характеристика q_c(u_c) нелинейного конденсатора (см. рис. б) представляет собой петлю гистерезиса с относительно малой площадью. Для упрощения расчета она может быть аппроксимирована ломаной dabc (рис. в). Это дает возможность для каждого из участков da, ab и bc получить решение уравнений (1) – (4) методами линейной электротехники.

На участке da (рис. в) q = const. Следовательно, . Для точки a этого участка (см. аппроксимированную кулонвольтную характеристику) u_C = 0. Из уравнений (1) – (3) для этой же точки имеем: i_r = 0; i = 0; e(t) = 100sint = u_C = 0.

Отсюда вытекает, что точка a соответствует моменту времени t = 0. Кроме того, в силу периодичности режима работы цепи и симметрии характеристики dabc (рис. в) относительно начала координат расчет может быть выполнен за половину периода, т.е. для времени 0  t  T/2. Изменение заряда q в этом интервале времени определяется участком abcb аппроксимированной характеристики (рис. в), что соответствует участку acb исходной характеристики (см. рис. б).

3. Определение q(t), u_C(t), i(t).

   • На участке ab (0  t  t₁) u_C = 0, q₀  q  +q₀. Из уравнений (1) – (4) для этого участка получим: ; (А); i_с = i = 0,1sint A;

(К). (5)

• На участке bc  cb (t₁  t  T/2) q = +q₀ = const. Из уравнений (1) – (4) для этого участка имеем: ;

;

u_C = i_rr₂ = 10000,05sint = 50sint (В).

• Определение постоянной интегрирования С₁ и момента времени t₁ перехода рабочей точки режима с участка ab на участок bc характеристики (см. рис. в).

В точке а (t = 0) q = q₀ = –10^–5 К. Соотношение (5) для этого момента времени принимает вид:

–10^–5 = –10^–4 cos(0) + C₁. (6)

Из (6) вытекает С₁ = 10^–4 – 10^–5 = 910^–5 К. В точке b (t = t₁) q = +q₀ = 10^–5 К.

Из соотношения (5) для момента времени t₁ (с учетом найденного значения постоянной интегрирования С₁) следует:

10^–5 = –10^–4 cos(t₁) + 910^–5. (7)

Тождество (7) позволяет определить временной момент t₁ перехода рабочей точки с участка ab на участок bc характеристики (рис. в):

с.

4. Временны;´е зависимости q(t), u_C(t), i(t) представлены на рис. г.