З адача 4

В цепи (см. рисунок) известно: Е = 80 В; R = 10 кОм; ВАХ НЭ с односторонней проводимостью аппроксимирована соотношением

I_н= aU_н + bU_н², в котором

a = 0,3 мА/В; b = 0.04 мА/В².

Определить I_н ,U_н.

Решение

На основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи

E = IR +U_н . (1)

С учетом того, что

I = I_н= aU_н + bU_н² , (2)

выражение (1) с помощью соотношения (2) может быть разрешено относительно напряжения на НЭ:

E = IR +U_н = (aU_н + bU_н²)R +U_н. (3)

Из (3) следует

. (4)

Корни квадратного уравнения (4):

В,

т.е. U_н′ = 10 В, U_н″ = –20 В.

Решение U_н″ = –20 В невозможно из физических соображений, так как НЭ в исследуемой цепи обладает односторонней проводимостью (для U_н 0 ток I = 0 ). Поэтому U_н = 10 В.

Ток в цепи может быть найден из аппроксимирующего выражения (2) I = I_н= aU_н + bU_н² = 0,310 + 0,0410² = 7 A.

Ответ: U_н = 10 В; I = 7 A.

Задача 5

В цепи, представленной на рис а, известно: Е = 450 В; R₀ = 1000 Ом; ВАХ НЭ1 и НЭ2 приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Uн1, В	0	50	75	200
Iн1, мА	0	125	175	275

Таблица 2

Uн2, В	0	100	250	425
Iн2, мА	0	50	150	300

Определить токи во всех ветвях цепи.

Решение

Расчет данной цепи целесообразно проводить аналитическим методом с использованием замены нелинейных элементов эквивалентными линейными схемами (графический метод здесь принципиально неприемлем, поскольку цепь не является последовательно-параллельной).

1. Представление нелинейного элемента НЭ1 эквивалентной схемой замещения на основе аппроксимации нелинейной ВАХ I_н1(U_н1) линейной характеристикой (рис. б).

В интервале линеаризации нелинейной характеристики уравнение аппроксимирующей функции имеет вид: U_н1 = E₀₁ + I_н1R_d1, где

Е₀₁ = –150 В; Ом.

В соответствии с уравнением аппроксимирующей функции схема замещения НЭ1 (для положительного значения Е₀₁) принимает вид, представленный на рис. в.

2. Замена НЭ2 линейной схемой замещения на основе аппроксимации нелинейной ВАХ I_н2(U_н2) линейной характеристикой (рис. г). В интервале линеаризации нелинейной характеристики уравнение аппроксимирующей функции имеет вид:

U_н2 = E₀₂ + I_н2R_d2,

где

E₀₂ = 100 В; Ом.

Аппроксимирующей функции соответствует схема замещения НЭ2, представленная на рис. д.

3. Эквивалентная линейная схема замещения исходной цепи (рис. е) и ее параметры: Е = 450 В; Е₀₁ = 150 В; E₀₂ = 100 В;

R_d1 = 1250 Ом; R_d2 = 1100 Ом; R₀ = 1000 Ом.

4. Расчет линейной цепи (рис. е) рационально осуществлять по методу узловых потенциалов.

Пусть _d = 0. Тогда _с = Е = 450 В (с учетом того, что ветвь c–d идеальная).

Уравнения для потенциалов узлов a и b:

или в цифровой форме

Из решения системы уравнений следует: = 276 В;

= 175 В.

Токи в ветвях эквивалентной линейной схемы замещения могут быть найдены с помощью обобщенного закона Ома:

А;

А;

А;

А;

А;

I = I₁+ I₂ = 0,259 + 0,159 = 0,418 А.

5. Проверка расчета. Найденные значения токов в нелинейных элементах должны находиться в пределах линеаризированных участков ВАХ НЭ (в противном случае необходимо повторить расчет с использованием новой линеаризации исходных ВАХ в районе найденных значений токов).

Границы линеаризированного участка ВАХ НЭ1 по току: 0,175  I₁; I₄  0,275.

Найденные значения токов I₁ = 0,259 А; I₄ = 0,26 А.

Границы линеаризированного участка ВАХ НЭ2 по току 0,15  I₂; I₃  0,3.

Найденные значения токов I₂ = 0,159 А; I₃ = 0,158 А.

Поскольку значения рассчитанных токов во всех нелинейных элементах рассматриваемой цепи находятся в пределах линеаризации исходных ВАХ, расчет выполнен верно.

Ответ: I = 0,418 А; I₁ =0,259 А; I₂ =0,159 А; I₃ = 0,158 А;

I₄ = 0,26 А; I₀ = 0,101 А.