Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

135(1).doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Дифференциальное уравнение для цепи после коммутации (на основании второго закона Кирхгофа):

. (10)

Общее решение уравнения (10):

. (11)

Принужденная составляющая тока:

А.

Характеристическое уравнение соотношения (10) имеет вид:

R₂ + Lp^* = 0, (12)

откуда с^–1,

и, как результат, свободная составляющая тока

. (13)

С учетом (11) переходный ток в рассматриваемом временном диапазоне определится соотношением:

. (14)

Расчет постоянной интегрирования А₁:

по закону коммутации для t = 0,012 с

i(0,0120) = i(0,012+0);

к моменту коммутации К₂ искомый ток имел значение (см. (9)):

i(0,0120) = [4(1e^–100^t)]_t_{= 0,012} = 4(1e^–100^^0,012) = 4(1e^–1,2) = 2,8 A.

Следовательно, в начальный момент после коммутации (см. (14)):

i^*(0,012+0) = [8 + A₁e^–50(^t^{– 0,012)}]_t_{= 0,012} = 8 + A₁,

т.е. 2,8 = 8 + А₁, откуда А₁ =  5,2.

Окончательно, для временного диапазона 0,012

i^*(t) = 8  5,2e^–50(^t^–0,012) А.

График переходного тока i(t) (рис. г). Рассчитаем значения переменного тока и занесем в таблицу:

t, мc	0	3	6	9	12
i, A	0	1,04	1,8	2,32	2,8
t, мc	12	15	32	52	72
i^*, A	2,8	3,54	6,08	7,295	7,741

З адача 2

В схеме (см. рисунок) известно: E₁ = 30 В; Е₂= 20 В;

L ₂ = 0,2 Гн; L₃ = 0,4 Гн;

М = 0,1 Гн; R₁= 10 Ом;

R₂= R₃= 20 Ом.

Определить переходный ток i₃(t).

Решение

После коммутации в цепи (см. рисунок) остается один контур, поэтому i₃(t)=i₂(t)= i(t).

Дифференциальное уравнение, описывающее режим цепи после коммутации c учетом встречного включения индуктивно связанных катушек:

. (1)

Общее решение уравнения (1):

i = i_пр + i_св. (2)

Принужденная составляющая тока:

А. (3)

Свободная составляющая переходного тока: характеристическое уравнение дифференциального соотношения (1) имеет вид , откуда

и, как результат, свободная составляющая искомого тока

. (4)

С учетом (3) и (4) искомый переходный ток определится соотношением:

. (5)

Расчет постоянной интегрирования. Как следует из (5), в начальный момент после коммутации (t = 0₊) имеем

i(0₊) = 0,5 + A. (6)

С учетом того, что рассматриваемая цепь допускает скачки токов в ветвях с индуктивностями (закон коммутации в тривиальной форме неприемлем), для определения начальных условий необходимо использовать обобщенный закон коммутации, в соответствии с которым

. (7)

Применительно к рассматриваемой цепи (см. рисунок), с учетом встречного включения индуктивно связанных катушек, тождество (7) представляется в виде:

(8)

Расчет установившегося докоммутационного режима целесообразно проводить с использованием метода узловых потенциалов. В соответствии с этим методом для цепи (см. рисунок) при исходном положении ключа

В.

Докоммутационные значения токов в индуктивных элементах (на основании закона Ома):

А;

А.

В соответствии с (8), значения токов после коммутации (начальные условия):

А.

Начальное значение переходного тока i(0₊) позволяет определить постоянную интегрирования А из тождества (6) 0,75= 0,5+ А, откуда А = 0,25. В результате,

i(t) = 0,5 + 0,25e^–100^tA.

Ответ: i(t) = 0,5 + 0,25e^–100^tA.

З адача 3

В цепи, представленной на рисунке, известно: Е = 100 В; R = 3 Ом; R₁= 5 Ом; R₂= 2 Ом.

О пределить значения токов в цепи и напряжение на индуктивности в начальный момент после коммутации (t = 0₊).

Р ешение

Н ачальные значения всех искомых функций могут быть найдены из уравнений, описывающих состояние рассматриваемой цепи (на основе законов Кирхгофа) в начальный момент (t = 0₊) переходного процесса:

(1)

До коммутации в рассматриваемой схеме

u_c(0_–) = 0; .

По законам коммутации

u_c(0_–) = u_c(0₊) = 0; i₂(0_–) = i₂(0₊) = 20 A.

C учетом законов коммутации, система уравнений (1) принимает вид:

(2)

Из (2) следует i(0₊) = 25 A; i₃(0₊) = 5 A; u_L(0₊) = –15 B.

Ответ: i(0₊) = 25 A; i₂(0₊) = 20 A; i₃(0₊) = 5 A; u_L(0₊) = –15 B.

Задача 4

В цепи (см. рисунок) известно: Е = 100 В; r₁= 5 Ом; r₂= 30 Ом; е(t)=169sin(300t) В; С = 200 мкФ; L = 100 мГн.

Определить i₃(t) после замыкания ключа.

Решение

1. Общее решение искомого тока:

i₃ = i₃_пр + i₃_св. (1)

2. С учетом того, что постоянный ток через конденсатор не протекает, принужденная составляющая искомого тока обусловлена лишь синусоидальным источником e(t) (сначала определяется комплекс установившегося синусоидального тока, а затем записывается его мгновенное значение):

А. (2)

3. Характеристическое уравнение и его корни. Определитель системы алгебраизированных уравнений, составленных по методу контурных токов:

или .

Откуда и

; p₁ =  380 c^–1; p₂ =  920 c^–1.

Следовательно, свободная составляющая искомого тока

i_3св = А₁е ^–³⁸⁰^t + А₂е ^–⁹²⁰^t. (3)

4. С учетом (1) – (3) общее решение искомого тока

i₃(t) = + А₁е ^–³⁸⁰^t + А₂е ^–⁹²⁰^t A. (4)

5. Определение постоянных интегрирования. Продифференцируем уравнение (4):

(5)

и запишем соотношения (4) и (5) для t = 0₊ :

i₃(0₊) = 10∙sin74 + А₁ + А₂; (6)

= 10∙300∙cos74 – 380A₁ – 920A₂ . (7)

Далее, для вычисления i₃(0₊) и i₃´(0₊) запишем уравнения состояния рассматриваемой цепи (на основе законов Кирхгофа) для переходного режима:

(8)

Продифференцируем уравнения (8):

(9)

и рассмотрим уравнения (8) и (9) для начального момента переходного режима t = 0₊:

(10)

(11)

В соответствии с законами коммутации

; (12)

u_c(0₊) = u_c(0_–) = 0. (13)

Cовместное решение уравнений (10) – (13) позволяет определить искомые i₃(0₊) и . Из (10)

;

i₃(0₊) = i₁(0₊) – i₂(0₊) = 20 – 2,86 = 17,14 А;

u_L(0₊) = E – r₁i₁(0₊) – r₂i₂(0₊) = 100–5∙20–30∙2,86 = 85,8 B; (14)

В/с. (15)

Из (11), (14), (15)

А/с;

А/с.

С учетом найденных начальных условий тождества (6) и (7) принимают вид:

17,14 = 10·sin74° + A₁ + A₂; – 6142 = 10∙300∙cos74° – 380A₁ – 920A₂

и ли 7,59 = А₁ + А₂;  6967 =  380А₁ – 920А₂. Откуда А₁= 0,145 А; А₂ = 7,34 А. Окончательно

А.

Ответ: А.

Задача 5

В цепи (рис. а) известно:Е₁ = 120 В; Е₄ = 30 В; r₁ = 40 Ом; r₂= r₃ = 20 Ом; L = 0,5 Гн; C = 100 мкФ. В момент времени t = 0 ключ мгновенно перебрасывается из положения 1 в положение 2.

Определить i₁(t).

Решение

1. Общее решение:

i₁(t) = i₁_пр + i₁_св.(1)

2. Принужденная составляющая:

А.

3. Свободная составляющая.

Характеристическое уравнение получим, приравняв к нулю определитель системы алгебраизированных уравнений, составленных по методу контурных токов:

или .

Откуда .

Корни характеристического уравнения:

p₁ = (117 + j80) c ^–1; p₂ = (117  j80) c ^–1 .

Выражение для свободной составляющей искомого тока:

4. Общее решение в соответствии с (1):

. (2)

5. Определение постоянных интегрирования. В начальный момент после коммутации выражение (2) имеет вид:

. (3)

В качестве дополнительного уравнения для определения постоянных А и В используется выражение для начального значения производной искомого тока:

. (4)

Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации:

Докоммутационные значения тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе определяются по докоммутационной схеме (рис. б):

А; В.

Зависимые начальные условия (значения тока i₁(0₊) и его производной ) определяются посредством решения уравнений состояния цепи и их производных, записанных для t = 0₊:

(5)

(6)

Из совместного решения уравнений (5) и (6) с учетом независимых начальных условий следует:

i₁(0₊) = 2,17 A; А/с. (7)

Найденные начальные значения тока i₁(0₊) и его производной позволяют определить постоянные интегрирования А и В из тождеств (3) и (4): 2,17 = 2 + А; 32,9 = 117А + 80В.

В результате, А = 0,17, В =  0,162.

6. Окончательное выражение для искомого переходного тока

Ответ: А.

Задачи для самостоятельного решения

З адача 6

В схеме (см. рисунок) известно: Е = 10 В;

L = 10^–2 Гн;

R = 50 Ом;

R₁ = 100 Ом;

M = 10^–3 Гн.

Определить .

Ответ: .

Задача 7

Дано (см. рисунок):

R₁ = 10 Oм;

R₂ = 5 Ом;

x₁ = x₂ = 20 Ом;

е (t) = 170 sin(ωt) B;

f = 400 Гц.

Определить .

Ответ:

II. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные вопросы

Сущность операторного метода.
Преимущества и недостатки операторного метода по сравнению с классическим методом расчета переходных процессов.
Изображения простейших функций (постоянной, , ).
Изображения производной и интеграла от функции.
Операторные изображения напряжений на индуктивности и емкости.
Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме при нулевых и ненулевых начальных условиях.
Операторный метод нахождения свободных составляющих переходных токов и напряжений (метод Богатырева).
Способы определения оригинала по изображению. Теорема разложения.

Литература

Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил Л.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1975. – Гл. 19.
Нейман л.Р., Демирчян к.С. Теоретические основы электротехники. – м.: Энергия, 1966. – т. 2. – Гл. 10.
Бессонов л.А. Теоретические основы электротехники. – м.: Высшая школа, 1978. – § 283–310.

Примеры

Задача 1

Индуктивная катушка (рис. а) с параметрами R = 2 Ом; L = 1 Гн включается на напряжение, изменяющееся по закону

, где U₀ = 10 B; β = 2 с^–1.

Определить мгновенное значение переходного тока и его максимальную величину.

Решение

Эквивалентная операторная схема представлена на рис. б. Операторное изображение источника питания:

Операторное изображение тока (на основании закона Ома):

П ереход к оригиналу по таблицам соответствия

Поскольку , мгновенное значение искомого переходного тока определится соотношением: .

Примерный график переходного тока изображен на рис. в.
Определение максимального значения переходного тока:

а) момент времени t₀ соответствует максимуму тока, т.е. экстремуму функции i(t). Поэтому

откуда и с;

б) максимальное значение переходного тока

А.

Ответ: ; А.

Задача 2

Н айти закон изменения напряжения на индуктивности после размыкания ключа в схеме (рис. а): E = 150 B; R₁ = 10 Ом; C = 10 ^–3 Ф; R₂ = 5 Ом; L = 1 Гн.

Решение

1. Эквивалентная операторная схема рассматриваемой цепи представлена на рис. б. Операторные изображения стороннего и внутренних источников энергии

E(p) = E/p; E_L(p) = Li₁(0);

E_C(p) = – U_C(0)/p.

2. Операторные ЭДС внутренних источников энергии. На основании законов коммутации ; .

До коммутации

; .

Следовательно, , и

; .

3. Операторное изображение переходного напряжения на индуктивности (рис. б): .

Операторное изображение тока в ветви с индуктивностью целесообразно отыскивать с помощью метода двух узлов. Для схемы (рис. б)

По закону Ома

Окончательно

4. Переход к оригиналу. В соответствии с теоремой разложения

f(t) =

переходное напряжение на индуктивности определится соотношением

u_L(t) = ;

а) корни характеристического уравнения :

; ;

б) значения и :

; ; ; ; ;

в) переходное напряжение на индуктивности

Ответ: .

З адача 3

В цепи (рис. а) известно: R₁ = 50 Ом; R₂ = 30 Ом; L = 100 мГн;

C = 200 мкф; U = 1000 B.

Определить ток i₁(t) в переходном режиме.

Решение

Эквивалентная операторная схема рассматриваемой цепи представлена на рис. б. Операторные сторонние и внутренние источники энергии: ; ;

Операторные ЭДС внутренних источников энергии. По законам коммутации ; .

До коммутации

; .

Следовательно, ; и

; .

Изображение искомого тока. По методу контурных токов (рис. б) (для операторных изображений пригодны все методы расчета стационарных режимов):

(1)

Система уравнений (1) после подстановки цифровых значений

(2)

Решение системы (2) относительно I₁₁(p):

; .

Переход к оригиналу. Корни характеристического уравнения F₂(p) = 0:

; ;

1/с;

;

Теорема разложения для случая комплексных корней:

f(t) = L^–1.

С учетом того, что , переходный ток определится выражением:

Ответ: i₁(t) = .

Задача 4

В цепи (рис. а) e(t) = 400 sin(ωtφ_e) B; R₂ = 50 Ом; R₃ = 25 Ом;

L = 0,25 Гн; C = 400 мкФ; f = 50 Гц.

К люч замыкается в момент, когда синусоидальная ЭДС генератора имеет отрицательное максимальное значение (φ_e =  90°).

Определить переходный ток i₂(t) методом Богатырева.

Решение

Принужденная составляющая искомого тока (отыскивается с помощью символического метода):

;

Свободная составляющая переходного тока i₂(t):

а) эквивалентная операторная схема для свободного режима представлена на рис. б.

б) ЭДС внутренних источников энергии свободного режима:

;

В соответствии с законами коммутации ; .

Докоммутационные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости (t  0)

;

; .

К моменту коммутации ;

Следовательно, ;

Принужденные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости

; .

Значения i_1
пр и u_С
пр в момент коммутации (t = 0₊):

;

Значения свободных составляющих тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации (t = 0):

;

Следовательно,

;

в) изображение свободной составляющей искомого тока:

по методу двух узлов (рис. б)

;

по закону Ома

;

г) оригинал свободной составляющей искомого тока. Корни характеристического уравнения F₂(p) = 0:

; с^–1;

;

По теореме разложения в случае комплексных корней

f(t) = L^–1.

Следовательно,

Общее решение для искомого переходного тока:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5

Найти закон изменения тока в цепи (см. рисунок), если

;

E₀ = 100 B;

α = 100 c^–1;

R = 50 Ом;

С = 100 мкФ.

Ответ:

i(t) = 2(e^–100^t – e^–200^t) A.

Задача 6

Н айти закон изменения тока в ветви с источником энергии.

Дано (см. рисунок): E = 100 B; R = 3 Ом; R₁ = 5 Ом; R₂ = 2 Ом; С = 200 мкФ; L = 0,1 Гн.

Ответ: .

З адача 7

Найти закон изменения тока в конденсаторе после размыкания ключа, если (см. рисунок): R₁ = R₂ = 100 Ом; L = 1,0 Гн; С = 100 мкФ;

U = 2000 B.

Ответ: .

Задача 8

Дано (см. рисунок):

U(t) = 500 sin 314t B;

R = 50 Ом;

С = 100 мкФ;

L = 0,3 Гн.

Определить u_C(t) по методу Богатырева.

Ответ:

III. Расчет переходных процессов

ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

НА НАПРЯЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

(Интеграл Дюамеля)

Основные вопросы

Интеграл Дюамеля для определения переходных токов и напряжений.
Условия применимости интеграла Дюамеля.
Переходная функция напряжения и переходная проводимость.
Методика решения задачи, когда график изменения напряжения, воздействующего на цепь, содержит разрывы первого рода.

ЛИТЕРАТУРА

Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1975. – § 13.15, 13.16.
Бессонов л.А. Теоретические основы электротехники. – м.: Высшая школа, 1978. – § 8.51 – 8.55.

Примеры

Задача 1

В схеме (см. рисунок) известно: u(t) = 100e ^–20^t B; R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Ом; L = 0,1 Гн.

Определить i₁(t), используя интеграл Дюамеля.

Решение

В соответствии с основной формой интеграла Дюамеля

Определение переходной проводимости g₁(t) искомой ветви (классический метод):

=0,1 + Аe^pt,

где = 60 с^–1;

= 0,04 – 0,1 =  0,06.

Следовательно, Ом^–1.

Переходная проводимость в запаздывающей форме:

Ом^–1.

Определение u(0) и u'(x): u(0) = 100 B;

u'(x) = u'(t)|_{t
= x}= –2000e^–²⁰^x B/c.

Искомый переходный ток i₁(t):

Проверка: (с учетом закона коммутации);

Ответ: i₁(t) = 13e^–20^t – 9e^–⁶⁰^t A.

Задача 2

В схеме (рис. а) известно: R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Ом; C = 20 мкФ. График напряжения на входе цепи представлен на рис. б.

; ; U₀ = 100 B; t₁ = 5 мкс;

t₂ = 1,575 мс; ω = 10³ c^–1.

Определить u_C(t).

Решение

Выражения для искомого напряжения для различных временных интервалов, представленные с помощью интеграла Дюамеля:

а) 0 ≤ t ≤ t₁:

;

б) t₁≤ t ≤ t₂:

;

в) t₂≤ t ≤ ∞:

Переходная функция по напряжению ;

y_C(t) =,

где .

Так как , то y_C(0) = . Отсюда: А = – 0,6 В и ;

;

Расчет напряжений и их производных:

; ;

Переходное напряжение на емкости:

а) :

Проверка расчета: u_C(0) = 0;

б) :

Проверка расчета: u_C(t₁0) = u_C(t₁+0);

;

в) :

= .

Проверка расчета: ;

;

З адача 3

В цепи (рис. а) известно: E₁ = 100 B; E₂ = 50 e⁵^t B; R₁ = 5 Ом; R₂ = 15 Ом; L = 0,5 Гн.

Определить i₁(t).

Решение

Рассматриваемая задача решается двумя способами.

Первый способ расчета: приведение задачи к нулевым начальным условиям.

Искомый переходный ток в цепи с ненулевыми начальными условиями может быть найден как совокупность тока до коммутации i₁(t) и переходного тока i₁₀(t) в цепи с нулевыми начальными условиями :