Решение. Возможные значения случайной величины X: 0,1,2,3. Пусть им соответствуют вероятности р0, р1, р2, р3. Найдём их, используя непосредственный подсчёт:

,

,

,

.

Проверка:

Таким образом, закон распределения имеет вид:

x	0	1	2	3
р

Найдём М(x):

.

Дисперсию будем искать по формуле .

Составим закон распределения для x².

x2	0	1	4	9
р

.

D(x) = 2,6 – (1,4)² = 0,64.

По определению функция распределения находится по формуле

Построим график функции распределения:

По функции распределения Р(x<2) = F(2) = .

ЗАДАЧА. Производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, m – число наступлений события А в n испытаниях. Для случая 1) малого n построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины m, найти М(m), D(m) и Р(m £ 2); 2) большого n и малого p найти Р(m £ 2) приближённо с помощью распределения Пуассона; 3) большого n найти вероятность Р(m₁ £ m £ m₂).

РЕШЕНИЕ.

1) n = 4, p = 0,8.

Возможные значения случайной величины m: 0,1,2,3,4. Пусть им соответствуют вероятности р0, р1, р2, р3, р4. Найдём их, используя формулу Бернулли:

, ,

, ,

.

Таким образом ряд распределения имеет следующий вид:

m	0	1	2	3	4
р	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

По определению функция распределения находится по формуле

Найдём М(m):

= 0 × 0,0016 + 1 × 0,0256 + 2 × 0,1536 + 3 × 0,4096 + 4 × 0,4096 = 3,2.

Дисперсию будем искать по формуле .

Составим закон распределения для x².

x2	0	1	4	9	16
р	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

М(m²) = 0,0256 + 4 ×0,1536 + 9 × 0,4096 + 16 × 0,4096 = 10,88.

D(x) = 10,88 – (3,2)² = 0,64.

По функции распределения Р(m £ 2) = F(3) = 0,1808.

2) n = 1000, p = 0,004.

Р(m £ 2) = Р(m = 0) + Р(m = 1) + Р(m = 2). По формуле Пуассона . Таким образом, имеем:

(значения P_n(m) найдены по таблице).

3) n = 100, p = 0,8, m₁ = 75, m₂ = 90.

По условию задачи q = 1– p = 0,2.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

P_n(k₁ £ k £ k₂) = F(x₂) – F(x₁), где F(x) – функция Лапласа,

, .

Вычислим x₁ и x₂:

,

.

Так как функция Лапласа нечетна, т.е. F(–x) = –F(x), получим

P₁₀₀(75 £ k £ 90) = F(2,25) – F(–1,25) = F(2,25) + F(1,25).

По таблице значений функции Ф найдем:

F(2,25) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность

P₁₀₀(75 £ k £ 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

ЗАДАЧА. Дана функция плотности распределения

Найти: 1) параметр А; 2) построить графики плотности и функции распределения; 3) Р(1<x<4); 4) М(Х), D(X), s(X); 5) верятность Р, что отклонение случайной величины от М(Х) не более 1.

РЕШЕНИЕ. Так как , получаем , так как , тогда .

Итак,

Найдём F(х), функцию распределения по формуле

если ,

если ,

если ,

Итак,

Построим оба графика

Найдём P(1 < x < 4).

Так как P(х₁ < x < х₂) = F(х₂) – F(х₁)

, F(4) = 1,

P(1 < x < 4) = 1– .

Найдём М(X) по формуле .

.

Дисперсия вычисляется по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение .

Найдём . Так как, , следует в нашей задаче или , то необходимо найти

ЗАДАЧА. Масса вагона - случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратичным отклонением 0,9 т. Найти вероятность того, что вагон имеет массу не более 67 т и не менее 64 т. По правилу трёх сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемой массы.

РЕШЕНИЕ. Для нормального распределённой случайной величины

.

По правилу трёх сигм наименьшая граница , наибольшая граница . Таким образом,

.

Наименьшая граница 62,3 т, наибольшая 67,7 т.

ЗАДАЧА. В двух ящиках находятся по шесть шаров; в 1-м ящике: 1 шар – с №1, 2 шара – с №2, 3 шара – с №3; во 2-м ящике: 2 шара с №1, 3 шара с №2, 1 шар – с №3. Пусть Х – номер шара, вынутого из первого ящика, Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу закона распределения системы случайных величин (X, Y). Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y. Определить коэффициент корреляции.

РЕШЕНИЕ.

Случайная точка (1, 1) имеет кратность 1 ´ 2 = 2;

– // – (1, 2) – // – 1 ´ 3 = 3;

– // – (1, 3) – // – 1 ´ 1 = 1;

– // – (2, 1) – // – 2 ´ 2 = 4;

– // – (2, 2) – // – 2 ´ 3 = 6;

– // – (2, 3) – // – 2 ´ 1 = 2;

– // – (3, 1) – // – 3 ´ 2 = 6;

– // – (3, 2) – // – 3 ´ 3 = 9;

– // – (3, 3) – // – 3 ´ 1 = 3.

Всего случайных точек 6 ´ 6 = 36 (n-кратную точку принимаем за n точек). Так как отношение кратности точки ко всему количеству точек равно вероятности появления этой точки, то таблица закона распределения системы случайных величин имеет вид

	Y	1	2	3
X
1		1/18	1/12	1/36
2		1/9	1/6	1/18
3		1/6	1/4	1/12

Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице.

Найдём математические ожидания случайных величин X и Y

Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы (X, Y).

Так как случайные величины X и Y независимы, то математические ожидания m_x и m_y можно подсчитать проще, используя ряды распределения:

хi	1	2	3		yi	1	2	3
pi	1/6	1/3	1/2		pi	1/3	1/2	1/6

Отсюда находим

От системы величин (X, Y) перейдём к системе центрированных величин где Составим таблицу

		–5/6	1/6	7/6
–4/3		1/18	1/12	1/36
–1/3		1/9	1/6	1/18
2/3		1/6	1/4	1/12

Имеем

Отсюда

Заметим, что и можно найти по формулам

Для нахождения коэффициента корреляции воспользуемся таблицей распределения системы центрированных случайных величин.

Определим ковариацию:

Так как C_xy = 0, то и коэффициент корреляции r_xy = 0.

Этот же результат мы могли получить и не определяя ковариации C_xy. Действительно, полагая Y = 1, получаем, что значение Х = 1 повторяется 2 раза, значение Х = 2 – 4 раза, а значение Х = 3 – 6 раз. Значит при Y = 1 получаем ряд распределения случайной величины Х:

хi	1	2	3
pi	1/6	1/3	1/2

Если Y = 2, то значение Х = 1 повторяется 3 раза, значение Х = 2 – 6 раз, а значение Х = 3 – 9 раз. Следовательно, при Y = 2 получается ряд распределения случайной величины Х:

хi	1	2	3
pi	1/6	1/3	1/2

Наконец, если Y = 3, то значение Х = 1 повторяется 1 раз, значение Х = 2 – 2 раза, а значение Х = 3 – 3 раза. Ряд распределения случайной величины Х при Y = 3 имеет вид

хi	1	2	3
pi	1/6	1/3	1/2

Итак, при различных значениях Y получаем один и тот же ряд распределения случайной величины Х. Так как ряд распределения случайной величины Х не зависит от значений случайной величины Y, то случайные величины Х и Y независимы. Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен нулю.

ЗАДАЧА. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D – квадрат, ограниченный прямыми х = 0, х = 3, у = 0, у = 3. Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) вычислить вероятность попадания случайной точки (X; Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 1, у = 2; 3) найти математические ожидания m_x и m_y; 4) найти средние квадратичные отклонения s_x и s_y.

РЕШЕНИЕ. 1) Коэффициент а находим из уравнения

откуда

т.е.

2)

3) Находим математические ожидания m_x и m_y; имеем

Следовательно, и

4) Находим средние квадратичные отклонения s_x и s_y:

Итак,

ЗАДАЧА. Дана таблица

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	0,25	0,37	0,44	0,55	0,60	0,62	0,68	0,70	0,73
Y	2,57	2,31	2,12	1,92	1,75	1,71	1,60	1,51	1,50

i	10	11	12	13	14	15	16	17
X	0,75	0,82	0,84	0,87	0,88	0,90	0,95	1,00
Y	1,41	1,33	1,31	1,25	1,20	1,19	1,15	1,00

Определить коэффициент корреляции r_xy и уравнения линий регресии.

РЕШЕНИЕ. Составим расчётную таблицу:

i	Х	Y	X2	Y2	XY
1	0,25	2,57	0,0625	6,6049	0,6425
2	0,37	2,31	0,1369	5,3361	0,8547
3	0,44	2,12	0,1936	4,4944	0,9328
4	0,55	1,92	0,3025	3,6864	1,0560
5	0,60	1,75	0,3600	3,0625	1,0500
6	0,62	1,71	0,3844	2,9241	1,0602
7	0,68	1,60	0,4624	2,5600	1,0880
8	0,70	1,51	0,4900	2,2801	1,0570
9	0,73	1,50	0,5329	2,2500	1,0950
10	0,75	1,41	0,5625	1,9881	1,0575
11	0,82	1,33	0,6724	1,7689	1,0906
12	0,84	1,31	0,7056	1,7161	1,1004
13	0,87	1,25	0,7569	1,5625	1,0875
14	0,88	1,20	0,7744	1,4400	1,0560
15	0,90	1,19	0,8100	1,4161	1,0710
16	0,95	1,15	0,9025	1,3225	1,0925
17	1,00	1,00	1,0000	1,0000	1,0000
S	11,95	26,83	9,1095	45,4127	17,3917

Из таблицы получаем:

Теперь находим

Вычисляем значение произведения так как то связь достаточно обоснована.

Уравнения линий регрессии:

т.е.

т.е.

Построив точки, определяемые таблицей, и линии регрессии, видим, что обе линии регрессии проходят через точку М(0,7029; 1,5782). Первая линия отсекает на оси ординат отрезок 3,0329, а вторая – на оси абсцисс отрезок 1,4566. Точки (x_i, y_i) расположены близко к линиям регрессии.

ЗАДАЧА. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения x₁ = 2, x₂ = 5, x₃ = 7, x₄ = 1, x₅ = 10, x₆ = 5, x₇ = 9, x₈ = 6, x₉ = 8, x₁₀ = 6, x₁₁ = 2, x₁₂ = 3, x₁₃ = 7, x₁₄ = 6, x₁₅ = 8, x₁₆ = 3, x₁₇ = 8, x₁₈ = 10, x₁₉ = 6, x₂₀ = 7, x₂₁ = 3, x₂₂ = 9, x₂₃ = 4, x₂₄ = 5, x₂₅ = 6.

Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и её частотами; 2) построить статистическое распределение; 3) изобразить полигон распределения.

РЕШЕНИЕ. 1) Найдём объём выборки: n = 25. Составим таблицу

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
nx	1	2	3	1	3	5	3	3	2	2

2) Статистическое распределение имеет вид

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
W	1/25	2/25	3/25	1/25	3/25	5/25	3/25	3/25	2/25	2/25

Контроль:

Последнюю таблицу можно переписать в виде

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
W	0,04	0,08	0,12	0,04	0,12	0,2	0,12	0,12	0,08	0,08

3) Возьмём на плоскости xOw точки (1; 0,04), (2; 0,08), (3; 0,12) и т.д. Последовательно соединив эти точки прямолинейными отрезками, получим полигон распределения случайной величины Х.

ЗАДАЧА. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения x₁ = 16, x₂ = 17, x₃ = 9, x₄ = 13, x₅ = 21, x₆ = 11, x₇ = 7, x₈ = 7, x₉ = 19, x₁₀ = 5, x₁₁ = 17, x₁₂ = 5, x₁₃ = 20, x₁₄ = 18, x₁₅ = 11, x₁₆ = 4, x₁₇ = 6, x₁₈ = 22, x₁₉ = 21, x₂₀ = 15, x₂₁ = 15, x₂₂ = 23, x₂₃ = 19, x₂₄ = 25, x₂₅ = 1.

Требуется: составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток ]0, 25[ на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограмму одинаковых частот.

РЕШЕНИЕ. Предварительно составим таблицу

Х	]0, 5[	]5, 10[	]10, 15[	]15, 20[	]20, 25[
nx	3	5	4	8	5

Статистическое распределение имеет вид

Х	]0, 5[	]5, 10[	]10, 15[	]15, 20[	]20, 25[
W	0,12	0,2	0,16	0,32	0,2

Гистограмма относительных частот изображена на рисунке

0 5 10 15 20 25