3) Квантовые числа

En=-kme⁴/2n²ћ² (n=1,2,3)

n – главное квантовое число (n=1,2,3)

Это число определяет энергию электрона в атоме водорода и показывает что энергия имеет дискретный ряд значений.

l – орбитальное квантовое число.

Оно определяет величину момента импульса Эл-на в атоме водорода.

l=0,1,2,3,…,n-1

L=ћ√(l(l+1))

L=m_eVr

Это число показывает, что момент импульса имеет дискретный ряд значений.

Число l опр форму электронного облака. Т.к. |Ψ|² пропорциональна вероятности обнаружения микрочастицы, а также с учётом соотнош неопределённостей для Эл-на в атоме невозможно точно указать его координаты и скорость.

Если l=0, то L=0

Электроны размазаны в опред области пр-ва вблизи ядра. Сферически симметрич область, в которой находится Эл-он, имеет момент импульса L=0

ρ – вектор – это величина, пропорц вероятности обнаружения Эл-на на сферической поверхности. Эл-он, находящийся в состоянии L=0 называется S-электрон.

Осн состояние: 1S: n=1, l=0

Если l=1, n=2 – p – электрон, L=ћ√2

Если l=2, n=3, d – электрон, L=ћ√6

m – магнитное орбитальное квантовое число, m=0,±1,±2,.. ±l

Оно определяет ориентацию Эл облака. Эта ориентация определяется направлением проекции вектора момента импульса электрона на направление оси Z. Направление оси Z опред направление внешнего магнитного поля, в кот можно поместить атом водорода, а в общем случае направл собств магнит поля атома, создаваемого ядром и окружающими его Эл-нами.

Если n=1, l=0, m=0

Сферически симметрич облако не имеет преимущественно ориентации

Если n=2, l=0, l=1, m=0, m=0,+1,-1

Если n=3, l=0,1,2, m=0, ±1,±2

Число различных состояний, в которых может находится электрон, обладая данной энергией = n2

Число возможных состояний электрона в атоме называется кратностью выражений.

L_z= ћm

n=3, l=2, m=0,±1,±2

L_z=0, ±ћ,±2ћ

L=ћ√6

21. Основное (1S) состояние атома водорода

В основном состоянии электронное облако обладает сферической симметрией. Поэтому Ψ ф-ия не зависит от величины θ и φ.

Ур. Шредингера (1/r²)*∂/∂r*(r²*∂Ψ/∂r)+2m/ħ^2*(E+ke²/r)Ψ=0

Имеет конечные решения в случае когда Ψ ф-ия имеет вид

Ψ(r)=A*exp(-ar)

(1/r²)*∂/∂r*(r²*∂Ψ/∂r)=[2*∂Ψ/(r∂r)+ ∂²Ψ/∂r²]

2*∂Ψ/(r∂r)+ ∂²Ψ/∂r²+2m/ħ^2*(E+ke²/r)Ψ=0

∂Ψ/∂r=-aΨ | ∂²Ψ/∂r²=a²Ψ

a²Ψ-2aΨ/r+2mEΨ/ħ²+2mke²/(ħ²r)=0

[a²+2mE/ħ²]+2/r*[mke²/ħ²-a]

Это равенство должно выполняться для любого r, т.е. [] и [] одновременно должны =0.

a²+2mE/ħ²=0 | E=-a²ħ²/(rm)

mke²/ħ²=a | E=-k²me⁴/(2ħ²)

Это выражение совпадает с формулой полученной для энергии Бором.

Ψ(r)=Aexp(-a*r)

dw=|Ψ|²*dV – вероятность нахождения электрона в области dV вокруг ядра

dV=4πr²dr

f(r)=dw/wr=4πr²A²exp(-2ar)

Экстремумы функции: df(r)/dr=0; 4πA²[2rexp(-2ar)-2ar²exp(-2ar)] ->ar=1 | r=1/a=r₀=ħ²/(kme²) радиус первой Боровской орбиты. Совпадение теории Бора и эксперимента.

/* */

В отличии от теории Бора из уравнения Шредингера следует что:

1) электрон не имеет конкретной орбиты, есть вероятность его найти в точках пространства отличных от r₀.

При этом наибольшая вероятность имеет место при r₀

Электрон «размазан» в некоторой области пространства вблизи ядра

Это все имеет место для состояния электрона при n=1 (осн сост)

2) В этом состоянии, т.к. n=1, то l=0, L=0 (мех момент)

О вращении (движении по орбите) говорить нельзя, можно говорить лишь радиальном движении электрона

Усл. Нормировки ∫₀^∞|Ψ|²dV=1 –электрон где-то находиться.

∫₀^∞4πr²A²exp(-2ar)вк=1

4πA²2!/(2a)³=1

a=√[1/4πr³]

Ψ(r)=√[1/πr³]*exp(-2/r₀)

Спектр Атома водорода

r₀=ħ²/(kme²)

E=-k²me⁴/(2ħ²)

k=1,2….

l=0,1,2…(n-1)

m=0,±1,±2…±l

/* */

n=1: l=0, m=0

n=2: l=0; S Эл-он

l=1; P Эл-он

n=3: l=0; S Эл-он

l=1; P Эл-он

l=2; D Эл-он

Правило отбора

Переходы электрона из одного состояния в другое осуществляется только таким образом, что бы при этих переходах изменение орбитального квантового числа было равно 1.

∆L=±1

Момент импульса имеет дискретный ряд значений:

L=ħ√[l(l+1)], l=0,1,2…(n-1)

22

Т.к. в соответствии с решением уравнения Шреденгера L имеет дискретный ряд значений, то соответственно и Pm тоже имеет дискретный ряд значений. Для подтверждения этого положения был проведен опыт Штерна и Герлаха(1922 – 1924гг.) в котором оказалось, что:

Т.е. мы получили три чётких полосы, что показало дискретность магнитных моментов атомов.

Момент импульса имеет дискретный ряд значений,

L = ћ√(l(l+1))

l = 0, 1, 2 … (n – 1)

Pm = - eL/(2m_e)

Т.к. l и Pm связаны друг с другом, то и магнитный момент тоже имеет дискретный ряд значений

Pm = - eћ/2m_e√(l(l+1))

Опыт Штерна и Герлаха подтвердили это положение, однако, вместо ожидаемых трёх полос на экране получилось только две полосы. Проекция момента импульса на ось Z так же имеет дискретный ряд значений:

L_z= mћ (m = 0, ±1, ±2)

Соответственно проекция магнитного момента на ось Z

P_mz = - eћm/(2m_e)

Особенности спектра излучения атомов щелочных металлов:

3s – основной уровень

В отличии от атома Н, в котором энергия зависит только от главного числа n решение уравнения Шредингера показывает, что у щелочных металлов энергия электронов зависит от двух квантовых чисел(m и l) при этом оптический(т.е. электрон ответственен за излучение и поглощение) является валентный электрон, находящийся в состоянии 3s.

В выражении для Е вводиться поправка, учитывающая для l – эта зависимость приводит к тому, что уровни с одинаковым m, по разным l распределяются на разных значениях энергии. С учётом правила отбора для квантового числа l Δm = ±1, возможные переходы приведены в таблице.

Каждая из двух линий образует серии(также, как у атома водорода) При экспериментальном излучении серии было обнаружено, что каждая из линий соответствующая переходу электрона из состояния с одной и той же энергией, но разной l расщепляется на два электрона. У атома натрия такой линии видимого диапазона спектра является линия, соответствующая переходу 3p3s

Для объяснения результатов опыта Штерна и Герлаха , и данных расщеплению линейных в спектре(тонкая структура). Эти учёные выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает особвм свойством, которое характеризует механический момент. Это свойство бвло названо СПИНОМ. Это свойство присуще только микро-частицам Собственный механический момент электрона определяется по тем же правилам, что и орбитальный момент.

L ↔L_s

L_s = ћ√(s(s+1))

L –орбитальн.

L_s – собствен.

Величина S определяется на основании эксперимента Штерна и Герлаха, и расщепления. Число возможных состояний в атоме2s + 1. По результатам опытов(две линии) число возможных электронов равно 0.

2s+1 = 2 => s = ½, где

S – спин электрона

L_s = √((1/2)*(3/2)) = (√3)/2

Распределение электронов в сложных атомах:

n = 1 l = 0 m = 0 → m_s = +1/2 ↑

→ m_s = -1/2 ↓

n = 2 l = 0 m = 0 → m_s = +1/2 ↑

→ m_s = -1/2 ↓

l = 0 m = +1 → m_s = +1/2 ↑

→ m_s = -1/2 ↓

l = 0 m = 0 → m_s = +1/2 ↑

→ m_s = -1/2 ↓

l = 0 m = - 1 → m_s = +1/2 ↑

→ m_s = -1/2 ↓

n = 3 l = 0 m = …

l = 1 m = …

l = 2 m = …

Т.е. для n = 3 - 18 электронов.

Электрон, находящийся в данном состоянии образует электронные оболочки, которые обозначаются K, L,…

Электрон находящийся в состоянии m и l – образует одинаковую оболочку.