Вопрос№8.

Использовать для описания движения микрочастиц плоскую монохроматическую волну, формулу для  которой предложил де Бройль, невозможно, так как эта монохроматическая волна бесконечна во времени и пространстве, микрочастицы ограничены во времени и пространстве.

Сложный волновой процесс может быть представлен в виде суперпозиции опр. числа монохром. волн. Резулт. волна, построенная опр. Образом, ограничена в пространстве, т.е. можно говорить об её локализации, такая волна называется волновым пакетом или группой волн. Волновой пакет очень быстро расплывается, а частица сущ. Бесконечное кол-во времени.

В конечном счете, движение микрочастиц, и соотв. этому движению волн. Процесс, истолковала теор. Вер.

Суперпозиция плоских волн может описать волновой процесс (объект) в ограниченной области пространства.

S = C_wS_w

Преобразования Фурье

Рассмотрим группу волн, волновые числа которых, лежат в пределах [k0 + ∆k, k0 - ∆k]

k = 2/; = 2/T; = 2

S(x, t) = ^{(k0 + ∆k)}_{(k0 - ∆k)} A(k)e ^{i(t - kx)}dx

Опр. S(x,t) при следующих допущениях:

1) A(k) = A₀  f(k)

2) т.к. участок ∆k мал, то  представим в виде ряда Тейлора

 = |_k=k0 + d/dt|_k=k0(k – k₀) + d²/dk²|_k1=k0(k – k₀)²/2! + …

∆k = k – k₀

= ₀ + (d/dk)(k – k₀)

3)k = k₀ + (k – k₀)

S(x, t) = ^{(k0 + ∆k)}_{(k0 - ∆k)} A₀e^{i{[0 + (d/dk)(k – k0)]t-[k0 + (k – k0)]x}}dk =

A₀e ^{i[0t - k0x)} ^{(k0 + ∆k)}_{(k0 - ∆k)} e^{i{d/dk)t – x}(k – k0)}dk = A₀e ^{i[0t - k0x)} ^+∆k _{-∆ k} e^id

[d/dk)t – x] = ^-∆k

k – k₀ = 

Ф – лы Эйлера

^+∆k _{-∆ k} e^id = ^+∆k _{-∆ k} [Cos() + iSin()]d= ^+∆k _{-∆ k} Cos()d = 1/^+∆k _{-∆ k} Cos()d =

1/[Sin()]|^+∆k _{-∆ k} =(2/)sin(∆k) = (2/j) ∆kSinj = (2∆k)Sinj/j

S(x,t) = (2A₀∆k)(Sinj/j)cos(₀t – k₀x)

= [(/k)t - x]

j = ∆k = [(/k)t - x](k – k₀)

Вопрос№9

Волновой процесс характ-ся 2 скоростями:

1.Фазовая скорость Vф – скорость перемещ. знач. коорд-т с постоян. фазой

ωоdt – kodx=0

Vф=dx/dt=ωо/ko

Фазовая скор. в общ. случае определ-ся параметрами волны, т.е. они разные для разных волн, входящих в сост. волнового пакета.

2.Групповая скор. U – скор. перемещ-я постоян ампитуды(волн пакета).

А=const при γ0

A=2AoΔk

γ=[(dω/dk)o*t-x] Δk

(dω/dk)o*t – x=0

(dω/dk)o*dt – dx=0

U=dx/dt=(dω/dk)o

Связь между Vф и U

ω=k Vф

U=(dω/dk)= Vф+ k(dVф/dk)

k(dVф/dk)= k( dVф/dλ)( dλ/dk)= -(2π/k)( dVф/dλ)= -λ(dVф/dλ)

λ=2π/k

U= Vф- λ(dVф/dλ)

Если Vф≠f(λ) , то группов. скор. равна фазовой. Если Vф=f(λ) , то наблюдается явление дисперсии(зависим-ть скор. распред-я волны от ее длины).

Пример: Рассмотрим эл-магн. волну.

Vф=1/√εoμo * 1/√εμ = c/√εμ

Вакуум : ε=1, μ=1 => Vф=c

Vф≠f(λ) – волны любой длины распр. в вакууме с одинак. скоростью (дисперсии нет ).

Вещ-во : ε≠1, μ≠1 => n= √εμ => Vф=c/n , n-показатель преломления.

Из опыта и теории известно: n= f(λ)

В вещ-ве наблюдается дисперсия эл-магн. волн.

Вопрос№10

Волны де Бройля.

Микрочастица : частица E,p

волна λ, ω

Ψ(x,t)=Ae^±i(ωt-kx)

E=ħω ; p=ħk

ω=E/ħ k=p/ħ

Ψ(x,t)=Ae^{±i/ħ(Et-px)} - плоская монохроматическая волна де Бр.

Знак (-) выбирается потому что с ним удобнее работать.

Ψ(x,t)=A(x,t)e^{±i/ħ(Et-px)}

Пакет волн де Бр. лучше, чем монохром. волна, отраж-т св-ва МЧ, как частицы.

Св-ва волн де Бр-ля

1.Фазовая скор. волн де Бр-ля больше скор-ти света в вак.

Vф= ω/k= ħω/ħk=E/p=mc²/mv= c²/v

v<c – Vф>c

Фазовая скор. не опис-т движение МЧ.

2.Волны де Бр-ля облад-т дисперсией в вак.

Vф =E/p

E= moc²+ p²/2m – нерелятивистская частица

Vф=moc²/p=p/2mo

p= f(λ) (λ=h/p)

Vф=f(λ)

В отличие от эл-магн волн волны де Бр-ля облад-т дисперсией в вак.

3) Групп-я скор. равна скорости движения МЧ.

U=(dω/dk)=d(ħω)/d(ħk)=dE/dp

E= moc²+ p²/2m

U=dE/dp=2p/2m=p/m=mv/m=v

U=v

3.На длине окружн-ти стацион-й орб-ты в атоме Бора уклад-ся целое число длин волн де Бр-ля.

Раз квантуется энерг., то квантуется и импульс => момент имп-са.

mvr=nħ , mv=p, λ=h/p , p= h/ λ

r (h/ λ)=nħ => h=2nħ

r(2ħπ/ λ)= nħ => 2r π=n λ

Статистич. истолкование волн де Бройля.

Волновые св-ва МЧ описыв-ся с пом-ю ф-и Ψ.

Ψ(x,t)=Ae^{±i/ħ(Et-px)}

Одномерный случай

Ψ(x,t)=A(x,t)e^{±i/ħ(Et-px)}

Эти ф-и в общем случае явл-ся мнимыми. Кроме того, в отл-е от волны, кот. может частично отразиться, част-но преломиться, т.е. делиться, МЧ может или только отразиться или пройти в вещ-во. Монохром. волна де Бройля не может припис-ся к МЧ , т.к. онане ограничена в пространстве и во времени., а частица ограничена.Пакет волн де Бр-ля также не может описать сост-е и повед-е МЧ, т.к. он мгновеннорасплывается во врем.

Δt=mo/h(Δx) ²

Δx – размер объекта

Пример : mo = 10^-3 , Δx=10^-3

Δt= 10²⁵ сек

классическая частица сущ-т миллиарды лет.

Для МЧ : mo = 10^-30 , Δx=10^-10

Δt= 10^-17 сек

М.Борн в 1926 – истолковал волны де Бройля.

Интенсивность волн де Бр-ля в данном месте пространства, есть мера вероятн-ти обнаруж-я чатсицы в этом месте в данный мом-т вр. В беск-но малой окрест. точки (x,y,z) простр-ва велич. dW=|Ψ|²* dV - есть вероятн-ть обнаруж-я МЧ в этой окрест. в дан. мом-т вр. Тогда волна dW/dV=|Ψ|² - плотность обнаруж-я частицы в единич. обйеме.

v(x,t) – не имеет физ-й смысл

|Ψ|² - имеет физ. смысл

|Ψ|²= ΨΨ = A² => J~A²

Интенсив-ть волны де Бр-ля пропорц-на A².

Мысленный экспер-т:

Если электрон- частицы, то 2 картины (от кажд. из щелей) на экране наблюд-я должны сложиться, так что результир-я имеет вид.

В действит-ти, на Э.Н. возн-т картина интерференции на 2-х щелях с Max.

Max=± mλ

Min=± (2m+1) λ/2 } λ=h/p

λ – длина волны де Бр-ля электрона.

Наблюд-я карт. не завис. от того, падает ли на щель поток эл-в или един-е эл-ны в течение длит. врем. В послед. случае возн-т такая же карт., но для наблюд-я необходимо долгое врем. В принципе, нельзя предсказать, через какую щель или в каком направл-и проход. тот или иной эл-н. То, что эл-н не делится подтвержд-ся наличием точки на фотоплачтине, в котор. он попал после прохожд-я щели (Фотопласт. располож на экр. наблюден.). Наличие такой карт. интерференц. позвол-т говорить о вероят-ти попад-я в Max, как о большой; min – вероятн. мала.

Рассматривая движ-е МЧ, при определ-х условиях нельзя говор. о траект-и ее движ-я. Можно говор. лишь о вероятн. знач-ях импульса и коорд-ты. Эти величины МЧ определ-ся с погрешн-ми, котор. назыв-ся неопредел-ми.