До 3 баллов за конспект
5. Некоторые формулы
5.1. Независимые события и условные вероятности
Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло (обозначается р(А/В), называется число, определяемое формулой
.
(5.1)
Так же определяется условная вероятность события В при условии, что событие А произошло:
.
(5.2)
Для классических вероятностей эти формулы доказываются, а во всех остальных случаях они постулируются. Выражая из этих формул вероятность произведения, получаем
.
(5.3)
(теорема умножения вероятностей).
События А и В называются независимыми, если и только если
, 
.
(5.4)
Другими словами, события А и В независимы тогда и только тогда, когда
.
(5.5)
В противном случае события называются зависимыми.
События
называются независимыми
в совокупности,
если для любого набора индексов
верно равенство
.
(5.6)
Рассмотрим пример событий, попарно независимых, но не являющихся независимыми в совокупности. Из четырех чисел 2, 3, 5, 30 выбирают наудачу одно. Введем такие события:
А
= {выбранное
число делится на 2}, В
= {выбранное
число делится на 3}, С
= {выбранное
число делится на 5}. Очевидно, что
.
Кроме того,
;
;
;
.
Примеры решения задач
Задача
30. Пусть
.
Найти условные вероятности
и
.
Решение.
Если
,
то АВ = А,
поэтому
,
что, впрочем, и так ясно, а
.
События А
и В
зависимы.
Задача 31.. События А и В несовместны, р(А) 0, р(В) 0. Зависимы события А и В или нет?
Решение.
Если А
и В
несовместны, то АВ
=
и р(АВ)
= 0
р(А)·р(В).
Несовместные события исключают друг друга и поэтому всегда зависимы.
Задача
32. А
и В
– несовместные события. Чему равна
условная вероятность
?
Решение. Так как АВ = по условию, то А(А + В) = А. Значит,
.
Задача
33.. Доказать,
что если события А
и В
независимы, независимы также события
и
,
и
,
и
.
Решение. Дано, что р(АВ) = р(А)р(В). Требуется доказать, что
; 
; 
.
Так
как
,
события
и
несовместны, то
.
Точно
также доказывается, что
.
Далее из равенства
следует, что
.
Доказанные формулы легко переносятся на случай n событий, независимых в совокупности.
Задача
34. События
независимы в совокупности. Найти
вероятность суммы событий
.
Решение.
Обратимся к противоположному событию.
Событию {произошло хотя бы одно из
событий
}
противоположно событие {ни одно из
событий
не произошло},
т.е. событие
=
.
Тогда
р(
)
= 1
р(
)=1
в силу независимости событий .
5.2. Иллюстрация применения формул теории вероятностей
Задача 37. Пусть вероятность дожить до 20 лет равна p1, а вероятность дожить до 60 лет равна р2, (р2 < p1). Чему равна вероятность того, что человек, доживший до 20 лет, доживет до 60?
Решение.
Построим пространство элементарных
исходов. Эксперимент заключается в
выборе случайного человека и фиксировании
длительности его жизни. Имеем всего три
исхода:
.
Здесь
означает, что человек не дожил до 20 лет,
что он дожил до 20 лет, но не дожил до 60,
60 означает, что человек дожил до 60 лет.
Событие А =
{человек
дожил до 60 лет} влечет событие В
= {человек
дожил до 20 лет}. По условию р(А)
= р2,
р(В)
= p1,
тогда
.
Задача 39.. Вероятность того, что стеклянный сосуд при упаковке будет разбит, равна 0,01. Определить вероятность того, что при упаковке пяти сосудов хотя бы один окажется разбитым.
Решение.
В условии неявно подразумевается, что
события
{i-й
сосуд окажется разбитым}, i
= 1, 2, 3, 4, 5 независимы в совокупности.
Поэтому вероятность события В
= {хотя бы
один сосуд окажется разбитым} равна
.
Задача
40..
Вероятности двух несовместных событий
А
и В
связаны соотношением
;
кроме того, А
+ В = .
Найти р(А)
и р(В).
Решение.
По условию
,
кроме того,
в силу несовместности событий,
.
Подставив вместо числа р(В)
квадрат числа р(А),
получим квадратное уравнение
,
откуда
;
.
Задача 41. Двадцать мальчиков поехали на пикник; 5 из них обгорели на солнце, 8 были сильно искусаны комарами, а 10 мальчиков остались всем довольны. Какова вероятность того, что обгоревший мальчик не был искусан комарами? Какова вероятность того, что искусанный комарами мальчик также и обгорел?
Решение.
Введем обозначения: А
= {наудачу
выбранный мальчик обгорел}, В
= {наудачу
выбранный мальчик искусан комарами}.
Тогда событие АВ
означает, что выбранный мальчик обгорел
и искусан комарами, а событие
означает,
что мальчик обгорел и не искусан комарами.
Непосредственно из условия задачи
вытекает, что одновременно и обгоревших,
и искусанных мальчиков было трое. Тогда
обгоревших и неискусанных мальчиков
было двое, откуда получаем, что,
,
.
Нужно
найти условные вероятности
и
.
Используя определение условной
вероятности, получаем
Задача 42. В некоторых спортивных соревнованиях команды А и В играют между собой до тех пор, пока одна из команд не выиграет две игры. Пусть р означает вероятность того, что команда А выигрывает одну игру у команды В. Ничьих не бывает. Чему равны вероятности следующих событий: А = {команда А выигрывает соревнование}, В = {команда В выигрывает соревнование}?
Решение. Построим пространство элементарных исходов. Каждый исход – это описание того, как проходили игры, пока одна из команд не выиграла две игры. Тогда можно записать: = {аа, aba, abb, bb, bab, baa}. Запись “aba”, например, означает, что первую и третью игры выиграла команда А, вторую игру – команда В.
Выразим
событие А
и через события Ak
= {команда А
выиграла
k-ю
игру}, Вk
= {команда
В выиграла
k-ю
игру}:
По условию задачи вероятность выигрыша команды А у команды В не меняется от игры к игре, а все события Аk и Вk независимы в совокупности. Кроме того, каждое из слагаемых, определяющих событие А, представляет собой элементарный исход, поэтому окончательно можно записать:
Вероятность события В теперь легко находится:
Задача 43. Из 12 билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим выбираются без возвращения два билета. Каковы вероятности следующих событий: A = {оба номера на билетах четные}; В = {первый номер четный, второй нечетный}; С = {один номер четный, другой нечетный}.
Решение. Введем следующие обозначения событий:
Чk = {k-й выбранный билет имеет четный номер}; k = 1, 2.
Нk = {k-й выбранный билет имеет нечетный номер}; k = 1, 2.
Тогда
,
,
.
Из
условия задачи находятся следующие
вероятности:
;
;
Нам нужно найти вероятности:
;
=
=
,
а также вероятность
.
События
несовместны, поэтому
=
=
.
Замечание. Эту задачу можно решить по “классическим” канонам. Действительно, взять один за другим два билета – это то же самое, что взять два билета сразу. Поэтому вероятности событий А, В, С равны:
;
;
.
Задача 45.. Игральную кость подбрасывают до первого выпадения одного очка. Какова вероятность того, что придется произвести более трех подбрасываний?
Решение.
Пространство
содержит в данном случае счетное
бесконечное число исходов,
= {1,
2, …,
k,
…}, где
элементарный исход k
соответствует
случаю, когда первые (k
–
1) бросаний не привели к выпадению
единицы,
а результатом k-го
бросания была единица. Обозначим через
событие {при k-м
бросании единица не выпала}. В условии
задачи подразумевается, что события
,
k
= 1,
2, 3, … независимы в совокупности, а
вероятности
событий таковы:
Элементарный исход k можно представить в виде произведения
.
Значит,
.
Отсюда
,
,
.
Событию
А
=
{придется произвести более трех бросаний
кости}
противоположно событие
= {
произведено не более трех бросаний}.
,
,
=
=
1
.